Công Cụ Này Làm Gì
Máy Tính Góc Giữa Hai Vectơ giúp bạn xác định góc tạo bởi hai vectơ trong không gian hai hoặc ba chiều. Bạn chỉ cần nhập các thành phần X, Y và (tùy chọn) Z của từng vectơ, công cụ sẽ trả về góc theo cả độ và radian, đồng thời hiển thị tích vô hướng, độ dài (mô-đun) của mỗi vectơ và giá trị cosin của góc. Công cụ áp dụng cho mọi hướng trong không gian và được dùng phổ biến trong vật lý, kỹ thuật, đồ họa máy tính và đại số tuyến tính.
Cách Sử Dụng
Nhập các thành phần của Vectơ A vào hàng thứ nhất và Vectơ B vào hàng thứ hai. Với vectơ 2D, bạn để trống ô Z hoặc nhập 0. Nhấn nút tính toán để xem kết quả góc. Góc luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 180°, vì hàm cosin nghịch đảo của tỉ số tích vô hướng luôn cho ra một góc không âm.
Giải Thích Công Thức
Tích vô hướng của hai vectơ bằng tích độ dài của chúng nhân với cosin của góc giữa hai vectơ: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert\cos\theta\). Biến đổi lại ta được:
$$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert}\right)$$Tích vô hướng được tính bằng \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\), còn độ dài mỗi vectơ là căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần. Nếu một trong hai vectơ có độ dài bằng 0 thì góc không xác định, nên công cụ đã có cơ chế phòng tránh phép chia cho 0.
Ví Dụ Minh Họa
Lấy A = (1, 0, 0) và B = (1, 1, 0). Tích vô hướng là \(1\times 1 + 0\times 1 + 0\times 0 = 1\). Độ dài hai vectơ lần lượt là \(\lVert\vec{A}\rVert = 1\) và \(\lVert\vec{B}\rVert = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Vậy:
$$\cos\theta = \frac{1}{1{,}4142} \approx 0{,}7071$$$$\theta = \arccos(0{,}7071) = 45° \;(\text{khoảng } 0{,}7854 \text{ radian})$$
Giải thích Kết quả của Bạn
Góc \(\theta\) được trả về bởi máy tính này có phạm vi từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\) (\(0\) đến \(\pi\) radian). Vì độ lớn \(\lVert\vec{A}\rVert\) và \(\lVert\vec{B}\rVert\) luôn dương, dấu của cosin khớp với dấu của tích vô hướng. Một sự kiện duy nhất này cho bạn biết mối quan hệ hình học một cách nhanh chóng:
| Góc \(\theta\) | \(\cos\theta\) | Tích vô hướng \(\vec{A}\cdot\vec{B}\) | Ý nghĩa hình học |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(+1\) | Dương (tối đa) | Cùng hướng — các vectơ song song |
| \(0^\circ\)–\(90^\circ\) | Giữa \(0\) và \(+1\) | Dương | Góc nhọn — các vectơ chỉ cùng hướng chung |
| \(90^\circ\) | \(0\) | Không | Trực giao (vuông góc) |
| \(90^\circ\)–\(180^\circ\) | Giữa \(-1\) và \(0\) | Âm | Góc tù — các vectơ ngược hướng chung |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | Âm (tối thiểu) | Hướng ngược lại — phản song song |
Quy tắc đọc nhanh: một tích vô hướng dương có nghĩa là góc nhọn, một tích vô hướng bằng không có nghĩa là góc vuông, và một tích vô hướng âm có nghĩa là góc tù. Càng gần \(\cos\theta\) đến \(\pm 1\), các vectơ càng gần nằm trên cùng một đường thẳng.
Định nghĩa & Từ điển
- Vectơ
- Một đại lượng có độ lớn và hướng, được viết dưới dạng danh sách các thành phần được sắp xếp theo thứ tự như \(\vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\).
- Thành phần vectơ (x / y / z)
- Phép chiếu của một vectơ lên một trục tọa độ. \(A_x\), \(A_y\) và \(A_z\) lần lượt là các lượng mà vectơ kéo dài dọc theo trục x, y và z. Đối với một vectơ 2D, đặt \(A_z = 0\).
- Tích vô hướng (tích vô hướng)
- Một số duy nhất được tạo thành từ hai vectơ: \(\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\). Nó bằng \(\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\), vì vậy dấu của nó cho biết liệu góc là nhọn, vuông hay tù.
- Độ lớn (chuẩn, độ dài)
- Độ dài của một vectơ, \(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\). Nó luôn không âm.
- Cosin
- Tỷ lệ lượng giác \(\cos\theta\) bằng tích vô hướng chuẩn hóa \(\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\). Nó có phạm vi từ \(-1\) (ngược lại) qua \(0\) (vuông góc) đến \(+1\) (cùng hướng).
- Arccos (cosin nghịch đảo)
- Hàm \(\arccos(x)\) phục hồi góc từ cosin của nó, trả về một giá trị từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\) (\(0\) đến \(\pi\) radian).
- Trực giao / vuông góc
- Các vectơ gặp nhau ở \(90^\circ\). Tích vô hướng của chúng chính xác bằng không.
- Song song / phản song song
- Các vectơ song song chỉ cùng hướng (\(\theta = 0^\circ\), \(\cos\theta = +1\)); các vectơ phản song song chỉ theo các hướng hoàn toàn ngược lại (\(\theta = 180^\circ\), \(\cos\theta = -1\)). Trong cả hai trường hợp, các vectơ nằm trên cùng một đường thẳng.
Câu Hỏi Thường Gặp
Công cụ có hỗ trợ vectơ 2D không? Có — bạn chỉ cần để trống ô Z hoặc nhập 0.
Tại sao góc không bao giờ vượt quá 180°? Hàm cosin nghịch đảo (arccos) chỉ trả về giá trị từ 0 đến 180°, đây chính là góc nhỏ nhất giữa hai hướng bất kể chúng định hướng ra sao.
Kết quả 90° có ý nghĩa gì? Hai vectơ vuông góc (trực giao) với nhau, điều này xảy ra mỗi khi tích vô hướng bằng đúng 0.
