Что умеет этот калькулятор
Этот инструмент находит угол между двумя векторами на плоскости (2D) или в пространстве (3D) с помощью скалярного произведения. Введите координаты вектора a и вектора b — и получите угол сразу в градусах и радианах, а также скалярное произведение, длину каждого вектора и косинус угла. Он пригодится в чистой математике, физике, инженерных расчётах, компьютерной графике и задачах на схожесть в машинном обучении.
Как пользоваться
Введите координаты x, y (и при необходимости z) для каждого вектора. Если работаете с плоскими (2D) векторами, просто оставьте поля z пустыми или поставьте 0. Нажмите «Рассчитать» и увидите угол. Калькулятор всегда возвращает угол в диапазоне от 0° до 180° — это геометрический (наименьший) угол между двумя направлениями.
Разбор формулы
Скалярное произведение связано с углом соотношением \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta \). Выразив θ, получаем
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{\text{A}_x\,\text{B}_x + \text{A}_y\,\text{B}_y + \text{A}_z\,\text{B}_z}{\sqrt{\text{A}_x^2 + \text{A}_y^2 + \text{A}_z^2}\;\sqrt{\text{B}_x^2 + \text{B}_y^2 + \text{B}_z^2}} \right)$$Скалярное произведение считается покоординатно: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \). Длина (модуль) вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат: \( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \). Перед взятием арккосинуса результат деления ограничивается отрезком \([-1, 1]\) — это исключает ошибки округления.
Пример расчёта
Пусть \( \vec{a} = (1, 0, 0) \) и \( \vec{b} = (1, 1, 0) \). Скалярное произведение равно
$$1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1$$Длины векторов: \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = \sqrt{2} \approx 1{,}4142 \). Тогда
$$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1{,}4142} \approx 0{,}7071$$откуда \( \theta = \arccos(0{,}7071) = 45° \), или примерно \( 0{,}7854 \) радиана.
Частые вопросы
Можно ли работать с плоскими (2D) векторами? Да — оставьте координаты z равными 0, и формула сама сведётся к двумерному случаю.
Почему угол никогда не превышает 180°? Функция арккосинуса возвращает значения от 0 до \(\pi\) (180°). Это и есть наименьший угол между двумя направлениями, независимо от их ориентации.
Что будет, если вектор нулевой? У нулевого вектора нет направления, поэтому угол не определён. Чтобы избежать деления на ноль, калькулятор возвращает 0°, когда длина вектора равна нулю.
Интерпретация результата
Угол \(\theta\), возвращаемый калькулятором, описывает, как два вектора ориентированы относительно друг друга, независимо от их длин. Знак и величина \(\cos\theta\) рассказывают о геометрическом соотношении с первого взгляда.
- \(\theta = 0^\circ\) (\(\cos\theta = 1\)) — параллельны / одинаковое направление. Векторы указывают точно в одну сторону; один является положительным скалярным кратным другому.
- \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) (\(\cos\theta > 0\)) — острый угол. Скалярное произведение положительно, и векторы указывают в примерно одинаковых направлениях.
- \(\theta = 90^\circ\) (\(\cos\theta = 0\)) — ортогональные (перпендикулярные). Скалярное произведение равно нулю. Это определяющий тест перпендикулярности.
- \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) (\(\cos\theta < 0\)) — тупой угол. Скалярное произведение отрицательно; векторы указывают в общем противоположных направлениях.
- \(\theta = 180^\circ\) (\(\cos\theta = -1\)) — антипараллельны / противоположное направление. Один вектор является отрицательным скалярным кратным другому.
В машинном обучении и анализе текста величина \(\cos\theta\) называется косинусной схожестью. Интерпретируя непосредственно: значение 1 означает идентичное направление (максимально похожи), 0 означает ортогональные/несвязанные, а −1 означает противоположное. Поскольку она игнорирует величину, два документа или встраивания с одинаковой ориентацией, но разными длинами оцениваются как идентичные. Угол и схожесть несут одну и ту же информацию — угол просто равен \(\arccos\) от схожести.
Справочные значения обычных углов
Эти стандартные углы и их точные значения косинуса полезны для проверки результатов и распознавания типичных ориентаций. Угол находится из \(\theta = \arccos(\cos\theta)\).
| Угол (градусы) | Угол (радианы) | \(\cos\theta\) | Соотношение |
|---|---|---|---|
| 0° | \(0\) | 1.0000 | Параллельны (одинаковое направление) |
| 30° | \(\pi/6\) | 0.8660 | Острый |
| 45° | \(\pi/4\) | 0.7071 | Острый |
| 60° | \(\pi/3\) | 0.5000 | Острый |
| 90° | \(\pi/2\) | 0.0000 | Ортогональные (перпендикулярные) |
| 120° | \(2\pi/3\) | −0.5000 | Тупой |
| 135° | \(3\pi/4\) | −0.7071 | Тупой |
| 150° | \(5\pi/6\) | −0.8660 | Тупой |
| 180° | \(\pi\) | −1.0000 | Антипараллельны (противоположное) |
Для преобразования результата в десятичных градусах, например 60°, в градусы, минуты и секунды, можно использовать 60° преобразование.
