यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल डॉट प्रोडक्ट का इस्तेमाल करके 2D या 3D स्पेस में दो सदिशों (vectors) के बीच का कोण निकालता है। सदिश a और सदिश b के घटक (components) दर्ज करें, और यह आपको कोण डिग्री तथा रेडियन दोनों में बताता है — साथ ही डॉट प्रोडक्ट, प्रत्येक सदिश का परिमाण (magnitude), और कोण का कोसाइन भी। यह शुद्ध गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स और मशीन-लर्निंग की समानता (similarity) से जुड़ी समस्याओं — सभी में काम आता है।

एक समान मूल बिंदु से दो सदिश, जिनके बीच कोण थीटा अंकित है — कोण θ को एक ही मूल बिंदु से निकलने वाले दो सदिशों के बीच मापा जाता है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

हर सदिश के x, y (और वैकल्पिक रूप से z) घटक टाइप करें। 2D सदिशों के लिए z वाले खाने खाली छोड़ दें या उन्हें 0 कर दें। कोण देखने के लिए कैलकुलेट दबाएँ। बताया गया कोण हमेशा 0° और 180° के बीच होता है — यानी दोनों दिशाओं के बीच का ज्यामितीय (सबसे छोटा) कोण।

सूत्र की व्याख्या

डॉट प्रोडक्ट कोण से इस तरह जुड़ा होता है: $a \cdot b = |a||b|\cos\theta$। इसमें से θ निकालने पर मिलता है $$\theta = \arccos\!\left( \frac{a \cdot b}{|a||b|} \right)$$ डॉट प्रोडक्ट घटक-दर-घटक निकाला जाता है: $$a \cdot b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$ प्रत्येक परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है: $$|a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$$ arccosine लेने से पहले भाग के परिणाम को $[-1, 1]$ की सीमा में बाँध (clamp) दिया जाता है, ताकि राउंडिंग की गलतियाँ न हों।

एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेपण, जो अदिश गुणनफल संबंध को दर्शाता है — अदिश गुणनफल एक सदिश के दूसरे पर प्रक्षेपण और θ के कोसाइन से संबंधित है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए $a = (1, 0, 0)$ और $b = (1, 1, 0)$। डॉट प्रोडक्ट होगा $$1\cdot 1 + 0\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1$$ परिमाण हैं $|a| = 1$ और $|b| = \sqrt{2} \approx 1.4142$। तो $$\cos\theta = \frac{1}{1 \times 1.4142} \approx 0.7071$$ जिससे $\theta = \arccos(0.7071) = 45°$, या लगभग 0.7854 रेडियन।

अपना परिणाम व्याख्या करना

कैलकुलेटर द्वारा लौटाया गया कोण $\theta$ दोनों सदिशों कि आपस में उन्मुखता को उनकी लंबाई से स्वतंत्र रूप से वर्णित करता है। $\cos\theta$ का चिन्ह और आकार आपको एक नज़र में ज्यामितीय संबंध बताता है।

$\theta = 0^\circ$ ($\cos\theta = 1$) — समांतर / एक ही दिशा। सदिश बिल्कुल उसी तरह से इंगित करते हैं; एक दूसरे का सकारात्मक अदिश गुणज है।
$0^\circ < \theta < 90^\circ$ ($\cos\theta > 0$) — तीव्र कोण। डॉट उत्पाद सकारात्मक है और सदिश व्यापक रूप से समान दिशाओं में इंगित करते हैं।
$\theta = 90^\circ$ ($\cos\theta = 0$) — ऑर्थोगोनल (लंबवत)। डॉट उत्पाद बिल्कुल शून्य है। यह लंबवतता के लिए निर्धारक परीक्षण है।
$90^\circ < \theta < 180^\circ$ ($\cos\theta < 0$) — अधिक कोण। डॉट उत्पाद ऋणात्मक है; सदिश सामान्य रूप से विरोधी दिशाओं में इंगित करते हैं।
$\theta = 180^\circ$ ($\cos\theta = -1$) — समांतर विरोधी / विपरीत दिशा। एक सदिश दूसरे का नकारात्मक अदिश गुणज है।

मशीन लर्निंग और पाठ विश्लेषण में, मात्रा $\cos\theta$ को कोसाइन समानता कहा जाता है। प्रत्यक्ष रूप से व्याख्या की गई: 1 का मान समान दिशा (अधिकतम समान) का अर्थ है, 0 का अर्थ ऑर्थोगोनल/असंबंधित है, और −1 का अर्थ विपरीत है। क्योंकि यह परिमाण को अनदेखा करता है, एक ही अभिविन्यास लेकिन विभिन्न लंबाई वाले दो दस्तावेज़ या एम्बेडिंग को समान के रूप में स्कोर करते हैं। कोण और समानता समान जानकारी ले जाती हैं — कोण केवल समानता का $\arccos$ है।

सामान्य कोण संदर्भ मान

ये मानक कोण और उनके सटीक कोसाइन मान परिणामों की जांच करने और सामान्य उन्मुखताओं को पहचानने के लिए उपयोगी हैं। कोण $\theta = \arccos(\cos\theta)$ से पाया जाता है।

कोण (डिग्री)	कोण (रेडियन)	$\cos\theta$	संबंध
0°	$0$	1.0000	समांतर (एक ही दिशा)
30°	$\pi/6$	0.8660	तीव्र
45°	$\pi/4$	0.7071	तीव्र
60°	$\pi/3$	0.5000	तीव्र
90°	$\pi/2$	0.0000	ऑर्थोगोनल (लंबवत)
120°	$2\pi/3$	−0.5000	अधिक
135°	$3\pi/4$	−0.7071	अधिक
150°	$5\pi/6$	−0.8660	अधिक
180°	$\pi$	−1.0000	समांतर विरोधी (विपरीत)

60° जैसे दशमलव-डिग्री परिणाम को डिग्री, मिनट और सेकंड में परिवर्तित करने के लिए, आप एक 60° रूपांतरण का उपयोग कर सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या मैं 2D सदिश इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — z घटकों को 0 छोड़ दें, और सूत्र अपने-आप 2D स्थिति के लिए सरल हो जाता है।

कोण 180° से ज़्यादा कभी क्यों नहीं होता? arccosine फ़ंक्शन 0 से π (180°) तक के मान देता है, जो दिशा चाहे जो हो, दोनों दिशाओं के बीच का सबसे छोटा कोण दर्शाता है।

अगर कोई सदिश शून्य हो तो? शून्य सदिश की कोई दिशा नहीं होती, इसलिए कोण अपरिभाषित रहता है; शून्य से भाग देने से बचने के लिए, जब किसी का परिमाण शून्य हो तो यह कैलकुलेटर 0° लौटाता है।

Dot product (a·b)	0
परिमाण \|a\|	1
परिमाण \|b\|	1
cos θ	0

दो सदिशों के बीच कोण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम