Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент находит кратчайшее (перпендикулярное) расстояние в трёхмерном пространстве между заданной точкой и плоскостью. Точка задаётся координатами (x0, y0, z0), а плоскость — общим линейным уравнением \(a\cdot x + b\cdot y + c\cdot z + d = 0\), где вектор (a, b, c) является нормалью к плоскости. Результат — неотрицательное число, выраженное в тех же единицах, что и ваши координаты.
Как пользоваться
Введите три координаты точки, а затем четыре числа из уравнения плоскости: коэффициенты a, b, c (компоненты вектора нормали) и свободный член d. Нажмите «Рассчитать». Калькулятор выдаст расстояние L, а также числитель и знаменатель, чтобы вы могли проверить каждый шаг вычислений. Все значения — обычные действительные числа: они могут быть отрицательными или дробными.
Разбор формулы
Значение левой части уравнения плоскости, подставленное в координаты точки, — \(a\cdot x_0 + b\cdot y_0 + c\cdot z_0 + d\) — показывает, насколько точка «отклонилась» от плоскости, но в масштабе длины вектора нормали. Деление на модуль этого вектора, \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\), приводит результат к настоящим единицам расстояния, а взятие абсолютной величины гарантирует неотрицательный ответ. Если расстояние равно ровно 0, значит, точка лежит на самой плоскости.
$$D = \frac{\left| \text{a}\,\text{x}_0 + \text{b}\,\text{y}_0 + \text{c}\,\text{z}_0 + \text{d} \right|}{\sqrt{\text{a}^2 + \text{b}^2 + \text{c}^2}}$$
Пример расчёта
Возьмём точку (1, 2, 3) и плоскость \(2x + 4y + 3z + 5 = 0\). Числитель равен \(|2\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3 + 5| = |24| = 24\). Знаменатель равен \(\sqrt{2^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}3851648\). Тогда $$L = \frac{24}{5{,}3851648} \approx 4{,}4565820.$$
Частые вопросы
Может ли расстояние быть отрицательным? Нет. Модуль в числителе делает результат всегда нулевым или положительным.
Что если a, b и c одновременно равны нулю? Тогда корректной плоскости не существует, ведь длина вектора нормали равна нулю, и расстояние не определено. Калькулятор защищён от деления на ноль.
Нужно ли заранее нормировать уравнение плоскости? Нет. Деление на модуль вектора нормали выполняет нормировку автоматически, поэтому любое уравнение, умноженное на скаляр, даёт то же самое расстояние.
