Калькулятор расстояния между двумя точками на плоскости (2D)

Введите расчет

x1

y1

x2

y2

Принимаются целые числа, десятичные дроби, отрицательные значения и дроби вида 3/4 или 2 1/2.

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Exact Radical Form

   

   Let S = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2; factor the largest perfect square k^2 so that S = k^2 m, giving d = k sqrt(m).

Результатов

Расстояние

11,661904

Exact form: 2 √34

Точка 1 (x1, y1)	(-2, 3)
Точка 2 (x2, y2)	(4, -7)
dx = x2 - x1	6
dy = y2 - y1	-10

Решение: расстояние

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

d = √((4 - (-2))² + (-7 - (3))²)

d = √((6)² + (-10)²)

d = √(136)

d = 2 √34

d ≈ 11,661904

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент вычисляет расстояние по прямой — так называемое евклидово расстояние — между двумя точками на двумерной декартовой плоскости. Введите координаты первой точки (x1, y1) и второй точки (x2, y2), и калькулятор выдаст расстояние сразу в двух видах: как точную упрощённую форму с корнем (например, \(2\sqrt{34}\)) и как десятичное число, округлённое до шести знаков после запятой. К ответу прилагается подробное пошаговое решение.

Как пользоваться

Впишите каждую координату в своё поле. Значения — это безразмерные координаты на одной плоскости, поэтому выбирать единицы измерения не нужно. Можно вводить целые числа, десятичные дроби, отрицательные значения и обыкновенные дроби. Простые дроби вроде 3/4 и смешанные дроби вроде 2 1/2 автоматически переводятся в десятичный вид перед подстановкой в формулу. Порядок точек роли не играет — разности возводятся в квадрат, поэтому знак не имеет значения.

Разбор формулы

Формула расстояния — это прямое следствие теоремы Пифагора. Изменение по горизонтали равно \(dx = x_2 - x_1\), а изменение по вертикали — \(dy = y_2 - y_1\). Эти величины образуют два катета прямоугольного треугольника, гипотенуза которого и есть искомое расстояние:

$$d = \sqrt{dx^2 + dy^2}$$

Чтобы записать ответ точно, обозначим \(S = dx^2 + dy^2\). Если \(S\) — целое число, находим наибольшее целое \(k\), квадрат которого делит \(S\), представляем \(S = k^2 \cdot m\) и получаем \(d = k\sqrt{m}\). Если \(m = 1\), расстояние равно целому числу \(k\) (полный квадрат); если же \(k = 1\), ответ остаётся в виде \(\sqrt{m}\).

Реклама

Расстояние между двумя точками — это гипотенуза прямоугольного треугольника с горизонтальным и вертикальным катетами.

Разбор примера

Пусть \((x_1, y_1) = (-2, 3)\) и \((x_2, y_2) = (4, -7)\). Тогда \(dx = 4 - (-2) = 6\) и \(dy = -7 - 3 = -10\). Значит, $$S = 6^2 + (-10)^2 = 36 + 100 = 136.$$ Поскольку \(136 = 4 \cdot 34\), а \(4 = 2^2\), получаем \(k = 2\) и \(m = 34\), поэтому точное расстояние равно \(2\sqrt{34} \approx 11{,}661904\).

Горизонтальное и вертикальное изменения становятся слагаемыми в квадрате под корнем.

Частые вопросы

Важен ли порядок точек? Нет. Разности возводятся в квадрат, поэтому, поменяв точки местами, вы получите тот же результат.

Что будет, если обе точки совпадают? Расстояние просто равно 0 — без всякой ошибки.

Можно ли вводить дроби? Да — поддерживаются и простые дроби (3/4), и смешанные (2 1/2). Если введены дроби и \(S\) не является целым числом, отображается только десятичное значение.