Что такое азимут между двумя точками?
Азимут (или прямой азимут) между двумя географическими точками — это направление по компасу, которого нужно придерживаться, отсчитывая по часовой стрелке от истинного севера, чтобы пройти по кратчайшему пути большого круга от начальной координаты к конечной. Он выражается в градусах: от 0° (точно на север) через 90° (восток), 180° (юг) и 270° (запад). Этот калькулятор работает в любой точке Земли — достаточно указать широту и долготу в десятичных градусах.
Как пользоваться калькулятором
Введите широту и долготу начальной и конечной точек в десятичных градусах. Положительные значения используйте для северной широты и восточной долготы, отрицательные — для южной широты и западной долготы (например, 40.7128, -74.0060 для Нью-Йорка). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить начальный азимут в градусах и ближайшее направление по 16-румбовой розе компаса.
Разбор формулы
Начальный азимут вычисляется по формуле сферической тригонометрии:
$$\theta = \operatorname{atan2}\left(\,\sin\Delta\lambda\,\cos\varphi_2,\; \cos\varphi_1\,\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1\,\cos\varphi_2\,\cos\Delta\lambda\,\right)$$где \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) — широты, а \(\Delta\lambda\) — разность долгот, все в радианах. Двухаргументная функция atan2 возвращает верный угол в каждой из четвертей; затем мы переводим результат в градусы, прибавляем 360 и берём остаток от деления на 360, чтобы ответ всегда находился в диапазоне от 0° до 360°. Обратите внимание: это именно начальный азимут — вдоль маршрута по большому кругу азимут непрерывно меняется, поэтому конечный азимут в точке назначения будет иным.
Пример расчёта
От мыса Лендс-Энд (50.066389, -5.714722) до Джон-о'-Гроатс (58.643889, -3.07): подставив значения в формулу, получаем начальный азимут около \(9{,}12^\circ\), что округляется до направления С (север). Курс чуть восточнее севера полностью соответствует вытянутой с юга на север форме Великобритании.
Частые вопросы
Это то же самое, что прямая линия на плоской карте? Нет. Здесь рассчитывается азимут большого круга (кратчайшего пути) на сфере, и он отличается как от локсодромии с постоянным курсом, так и от прямых линий на плоских проекциях.
Остаётся ли азимут постоянным в течение всего пути? Нет, на маршрутах по большому кругу он меняется по мере движения. Калькулятор показывает азимут в начальной точке.
В каком формате вводить координаты? В десятичных градусах. Сначала переведите градусы-минуты-секунды в десятичный вид и используйте отрицательные значения для южной широты и западной долготы.
Таблица справочных точек компаса
Азимут чаще всего выражается как значение от \(0^{\circ}\) до \(360^{\circ}\), отсчитываемое по часовой стрелке от истинного севера. Компасная роза с 16 точками делит полный круг на равные сектора величиной \(360^{\circ} / 16 = 22.5^{\circ}\). Каждая именованная точка центрирована на кратное значение \(22.5^{\circ}\) и охватывает диапазон \(\pm 11.25^{\circ}\) вокруг этого центра.
| Точка | Сокр. | Центральный азимут | Диапазон градусов |
|---|---|---|---|
| Север | N | 0° | 348.75°–11.25° |
| Север-Северо-восток | NNE | 22.5° | 11.25°–33.75° |
| Северо-восток | NE | 45° | 33.75°–56.25° |
| Восток-Северо-восток | ENE | 67.5° | 56.25°–78.75° |
| Восток | E | 90° | 78.75°–101.25° |
| Восток-Юго-восток | ESE | 112.5° | 101.25°–123.75° |
| Юго-восток | SE | 135° | 123.75°–146.25° |
| Юг-Юго-восток | SSE | 157.5° | 146.25°–168.75° |
| Юг | S | 180° | 168.75°–191.25° |
| Юг-Юго-запад | SSW | 202.5° | 191.25°–213.75° |
| Юго-запад | SW | 225° | 213.75°–236.25° |
| Запад-Юго-запад | WSW | 247.5° | 236.25°–258.75° |
| Запад | W | 270° | 258.75°–281.25° |
| Запад-Северо-запад | WNW | 292.5° | 281.25°–303.75° |
| Северо-запад | NW | 315° | 303.75°–326.25° |
| Север-Северо-запад | NNW | 337.5° | 326.25°–348.75° |
Север охватывает границу \(0^{\circ}/360^{\circ}\), поэтому его диапазон переходит от \(348.75^{\circ}\) через \(0^{\circ}\) к \(11.25^{\circ}\).
Как вручную вычислить азимут
В этом примере найдём начальный азимут большого круга от Лендс-Энда, Англия (\(\varphi_1 = 50.07^{\circ}\,\text{С},\ \lambda_1 = -5.72^{\circ}\)) к области Ящерица (Lizard Point) в точке (\(\varphi_2 = 49.96^{\circ}\,\text{С},\ \lambda_2 = -5.20^{\circ}\)).
- Преобразуйте широты и долготы в радианы. Умножьте каждое значение в градусах на \(\pi/180\):
\(\varphi_1 = 50.07 \times \tfrac{\pi}{180} = 0.87388\ \text{рад}\), \(\varphi_2 = 49.96 \times \tfrac{\pi}{180} = 0.87196\ \text{рад}\), \(\lambda_1 = -5.72 \times \tfrac{\pi}{180} = -0.09984\ \text{рад}\), \(\lambda_2 = -5.20 \times \tfrac{\pi}{180} = -0.09076\ \text{рад}\). Вы можете проверить одно преобразование, например 0.87388 рад. - Вычислите разность долгот \(\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1\):
\(\Delta\lambda = -0.09076 - (-0.09984) = 0.00908\ \text{рад}\) (что эквивалентно \(+0.52^{\circ}\)). - Вычислите числитель функции atan2 \(y = \sin(\Delta\lambda)\,\cos\varphi_2\):
\(y = \sin(0.00908)\times\cos(0.87196) = 0.00908 \times 0.64323 = 0.005840\). - Вычислите знаменатель функции atan2 \(x = \cos\varphi_1\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1\cos\varphi_2\cos(\Delta\lambda)\):
\(x = (0.64154)(0.76568) - (0.76709)(0.64323)(0.99996)\)
\(x = 0.49121 - 0.49335 = -0.002143\). - Применить функцию atan2 для получения угла в радианах:
\(\theta = \operatorname{atan2}(0.005840,\ -0.002143) = 1.91898\ \text{рад}\). - Преобразуйте радианы в градусы, умножив на \(180/\pi\):
\(\theta = 1.91898 \times \tfrac{180}{\pi} = 109.95^{\circ}\). - Нормализуйте в диапазон \(0^{\circ}\)–\(360^{\circ}\) с помощью \((\theta + 360)\bmod 360\):
\((109.95 + 360)\bmod 360 = 109.95^{\circ}\).
Начальный азимут составляет примерно \(110^{\circ}\) — курс в направлении востока-юго-востока (ВЮВ). Шаг нормализации важен, когда функция atan2 возвращает отрицательное значение (например, результат \(-70^{\circ}\) становится \(290^{\circ}\)).
