Что такое вероятность правого хвоста P(Z > z)?
Для стандартного нормального распределения (среднее 0, стандартное отклонение 1) вероятность правого хвоста \(P(Z > \text{z})\) — это площадь под колоколообразной кривой справа от заданного z-значения. Она отвечает на вопрос: «какая доля наблюдений превышает это значение?» Поскольку вся площадь под кривой равна 1, правый хвост — это просто единица минус накопленная вероятность: \(P(Z > \text{z}) = 1 - \Phi(\text{z})\), где \(\Phi(\text{z})\) — функция распределения стандартной нормальной величины.
Как пользоваться калькулятором
Введите z-значение — число стандартных отклонений, на которое величина находится выше (положительное) или ниже (отрицательное) среднего. Калькулятор выдаст вероятность правого хвоста \(P(Z > \text{z})\), накопленную вероятность \(\Phi(\text{z}) = P(Z \le \text{z})\) и процентиль (то есть Φ в процентах). При z = 0 правый хвост равен ровно 0,5, ведь нормальная кривая симметрична.
Разбор формулы
Функция распределения записывается через функцию ошибок:
$$\Phi(\text{z}) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{z}}{\sqrt{2}}\right)\right]$$В этом калькуляторе erf вычисляется по рациональной аппроксимации Абрамовица и Стиган, точной примерно до семи знаков после запятой. Правый хвост равен \(1 - \Phi(\text{z})\), а процентиль — это \(100 \times \Phi(\text{z})\).
Пример расчёта
Возьмём z = 1,0. Накопленная вероятность \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\), поэтому
$$P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 \approx 0{,}1587$$Это значит, что около 15,87% значений нормального распределения лежат более чем на одно стандартное отклонение выше среднего, а z-значение, равное 1, соответствует примерно 84-му процентилю.
Частые вопросы
Что получится при отрицательном z-значении? Для z = −1,0 имеем \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\), поэтому правый хвост \(P(Z > -1) \approx 0{,}8413\) — около 84% распределения лежит выше этой точки.
Это односторонний p-уровень? Да. Для правосторонней проверки гипотезы \(P(Z > \text{z})\) — это в точности односторонний p-уровень для вашей статистики критерия.
Насколько точен результат? Максимальная погрешность аппроксимации составляет около \(1{,}5 \times 10^{-7}\), чего с избытком хватает для большинства статистических задач.
