ما هو احتمال الذيل الأعلى P(Z > z)؟
في التوزيع الطبيعي المعياري (متوسطه 0 وانحرافه المعياري 1)، يمثّل احتمال الذيل الأعلى \(P(Z > z)\) المساحة الواقعة تحت المنحنى الجرسي إلى يمين درجة معيارية z معيّنة. وهو يجيب عن أسئلة مثل: «ما نسبة المشاهدات التي تقع فوق هذه القيمة؟» وبما أنّ المساحة الكلية تحت المنحنى تساوي 1، فإنّ الذيل الأعلى ما هو إلا 1 ناقص الاحتمال التراكمي: \(P(Z > z) = 1 - \Phi(z)\)، حيث \(\Phi(z)\) هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الدرجة المعيارية z — أي عدد الانحرافات المعيارية التي تبعد بها القيمة فوق المتوسط (قيمة موجبة) أو تحته (قيمة سالبة). تُعيد الحاسبة احتمال الذيل الأعلى \(P(Z > z)\)، والاحتمال التراكمي \(\Phi(z) = P(Z \le z)\)، والرتبة المئوية (وهي \(\Phi\) معبَّرًا عنها كنسبة مئوية). وعند \(z = 0\) يكون احتمال الذيل الأعلى مساويًا تمامًا 0.5، لأنّ المنحنى الطبيعي متماثل.
شرح الصيغة الرياضية
تُكتب دالة التوزيع التراكمي باستخدام دالة الخطأ على النحو الآتي: $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ وتحسب هذه الحاسبة دالة الخطأ erf باستخدام التقريب الكسري لأبراموفيتز وستيغان (Abramowitz & Stegun)، وهو دقيق حتى نحو سبع منازل عشرية. ومن ثَمّ يكون الذيل الأعلى \(1 - \Phi(z)\)، وتكون الرتبة المئوية \(100 \times \Phi(z)\).
مثال محلول
لنأخذ \(z = 1.0\). الاحتمال التراكمي \(\Phi(1) \approx 0.8413\)، إذن $$P(Z > 1) = 1 - 0.8413 \approx 0.1587$$ أي أنّ نحو 15.87% من التوزيع الطبيعي يقع على بُعد أكثر من انحراف معياري واحد فوق المتوسط، وأنّ الدرجة المعيارية z = 1 تقابل تقريبًا المئين الرابع والثمانين.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعطي الدرجة المعيارية السالبة؟ عند \(z = -1.0\) يكون \(\Phi(-1) \approx 0.1587\)، ومن ثَمّ يكون الذيل الأعلى \(P(Z > -1) \approx 0.8413\) — أي أنّ نحو 84% من التوزيع يقع فوقها.
هل هذه قيمة p أحادية الذيل؟ نعم. في اختبار الفرضيات ذي الذيل الأيمن، يكون \(P(Z > z)\) هو تمامًا قيمة p الأحادية الجانب لإحصائيتك الاختبارية.
ما مدى دقة النتيجة؟ يبلغ أقصى خطأ في هذا التقريب نحو \(1.5 \times 10^{-7}\)، وهو أكثر من كافٍ للأعمال الإحصائية المعتادة.
