गॉसियन पर्सेंटाइल रैंक और अपर-टेल प्रायिकता कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

Z-स्कोर (z)

परिणाम

Probability Z is greater than z  P(Z > z)

0.158655

= 15.8655% of the distribution lies above z

Upper tail P(Z > z)	15.8655%
Cumulative Φ(z) = P(Z ≤ z)	0.841345
पर्सेंटाइल रैंक	84.13

अपर-टेल प्रायिकता P(Z > z) क्या है?

मानक सामान्य वितरण (माध्य 0, मानक विचलन 1) में, अपर-टेल प्रायिकता \(P(Z > z)\) किसी दिए गए z-स्कोर के दाईं ओर घंटी-आकार वक्र (bell curve) के नीचे का क्षेत्रफल होती है। यह इस तरह के सवालों का जवाब देती है कि "कितने प्रतिशत प्रेक्षण इस मान से ऊपर आते हैं?" चूँकि वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल 1 के बराबर होता है, इसलिए अपर टेल बस 1 में से संचयी प्रायिकता घटाने पर मिलती है: \(P(Z > z) = 1 - \Phi(z)\), जहाँ \(\Phi(z)\) मानक सामान्य संचयी वितरण फलन (cumulative distribution function) है।

P(Z > z) मानक सामान्य वक्र की ऊपरी पुच्छ में z के दाईं ओर का छायांकित क्षेत्र है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

एक z-स्कोर दर्ज करें — यानी कोई मान माध्य से कितने मानक विचलन ऊपर (धनात्मक) या नीचे (ऋणात्मक) स्थित है। कैलकुलेटर अपर-टेल प्रायिकता \(P(Z > z)\), संचयी प्रायिकता \(\Phi(z) = P(Z \le z)\), और पर्सेंटाइल रैंक (Φ को प्रतिशत में दर्शाया गया) लौटाता है। \(z = 0\) पर अपर टेल का मान ठीक 0.5 आता है, क्योंकि सामान्य वक्र सममित (symmetric) होता है।

सूत्र की व्याख्या

संचयी वितरण फलन को त्रुटि फलन (error function) के रूप में लिखा जाता है: $$\Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$ यह कैलकुलेटर erf का मान Abramowitz व Stegun के परिमेय सन्निकटन (rational approximation) से निकालता है, जो लगभग सात दशमलव स्थानों तक सटीक होता है। इसके बाद अपर टेल \(1 - \Phi(z)\) होती है, और पर्सेंटाइल रैंक \(100 \times \Phi(z)\) होती है।

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संचयी प्रायिकता Φ(z) और ऊपरी पुच्छ P(Z > z) मिलकर पूरे वक्र को ढकते हैं (कुल क्षेत्रफल = 1)।

हल किया गया उदाहरण

मान लीजिए \(z = 1.0\)। संचयी प्रायिकता \(\Phi(1) \approx 0.8413\) होती है, इसलिए $$P(Z > 1) = 1 - 0.8413 \approx 0.1587$$ इसका मतलब है कि किसी सामान्य वितरण का लगभग 15.87% हिस्सा माध्य से एक मानक विचलन से अधिक ऊपर रहता है, और z-स्कोर 1 लगभग 84वें पर्सेंटाइल के बराबर होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

ऋणात्मक z-स्कोर का क्या मान आता है? \(z = -1.0\) के लिए \(\Phi(-1) \approx 0.1587\) होता है, इसलिए अपर टेल \(P(Z > -1) \approx 0.8413\) — यानी वितरण का लगभग 84% हिस्सा इससे ऊपर स्थित होता है।

क्या यह एक-पुच्छीय (one-tailed) p-मान है? हाँ। दाएँ-पुच्छीय (right-tailed) परिकल्पना परीक्षण के लिए, \(P(Z > z)\) ठीक आपके परीक्षण सांख्यिकी (test statistic) का एक-तरफा p-मान होता है।

परिणाम कितना सटीक है? इस सन्निकटन की अधिकतम त्रुटि लगभग \(1.5 \times 10^{-7}\) होती है, जो सामान्य सांख्यिकीय कार्य के लिए पर्याप्त से अधिक है।