¿Qué es la probabilidad de cola superior P(Z > z)?
En la distribución normal estándar (media 0 y desviación típica 1), la probabilidad de cola superior \(P(Z > z)\) es el área bajo la campana de Gauss situada a la derecha de una puntuación z determinada. Responde a preguntas como «¿qué proporción de observaciones queda por encima de este valor?». Dado que el área total bajo la curva es igual a 1, la cola superior no es más que 1 menos la probabilidad acumulada: \(P(Z > z) = 1 - \Phi(z)\), donde \(\Phi(z)\) es la función de distribución acumulada de la normal estándar.
Cómo usar esta calculadora
Introduce una puntuación z, es decir, el número de desviaciones típicas que un valor se sitúa por encima (positivo) o por debajo (negativo) de la media. La calculadora devuelve la probabilidad de cola superior \(P(Z > z)\), la probabilidad acumulada \(\Phi(z) = P(Z \le z)\) y el percentil (\(\Phi\) expresado en porcentaje). Un valor z igual a 0 da exactamente 0,5 en la cola superior, ya que la curva normal es simétrica.
La fórmula explicada
La función de distribución acumulada se expresa mediante la función de error: \(\Phi(z) = \tfrac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]\). Esta calculadora evalúa erf con la aproximación racional de Abramowitz y Stegun, precisa hasta unas siete cifras decimales. La cola superior es entonces:
$$P(Z > z) = 1 - \Phi(z) = 1 - \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$y el percentil se obtiene como \(100 \times \Phi(z)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(z = 1{,}0\). La probabilidad acumulada \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\), de modo que:
$$P(Z > 1) = 1 - 0{,}8413 \approx 0{,}1587$$Esto significa que alrededor del 15,87 % de una distribución normal se encuentra a más de una desviación típica por encima de la media, y que una puntuación z de 1 corresponde aproximadamente al percentil 84.
Preguntas frecuentes
¿Qué se obtiene con una puntuación z negativa? Para \(z = -1{,}0\), \(\Phi(-1) \approx 0{,}1587\), por lo que la cola superior \(P(Z > -1) \approx 0{,}8413\); es decir, cerca del 84 % de la distribución queda por encima de ese valor.
¿Es esto un valor p de una cola? Sí. En un contraste de hipótesis de cola derecha, \(P(Z > z)\) es exactamente el valor p unilateral correspondiente a tu estadístico de contraste.
¿Qué precisión tiene el resultado? La aproximación tiene un error máximo de unos \(1{,}5 \times 10^{-7}\), más que suficiente para el trabajo estadístico habitual.
