什么是右尾概率 P(Z > z)？
对于标准正态分布（均值为 0、标准差为 1），右尾概率 \(P(Z > \text{z})\) 指的是钟形曲线下、某个 z 值右侧的面积。它回答的是这样一类问题：「有多少比例的观测值落在这个数值之上？」由于曲线下的总面积等于 1，右尾概率就等于 1 减去累积概率：\(P(Z > \text{z}) = 1 - \Phi(\text{z})\)，其中 \(\Phi(\text{z})\) 是标准正态分布的累积分布函数。
如何使用本计算器
输入一个 z 值——也就是某个数值高于（正值）或低于（负值）均值多少个标准差。计算器会返回右尾概率 \(P(Z > \text{z})\)、累积概率 \(\Phi(\text{z}) = P(Z \le \text{z})\)，以及百分位排名（即以百分比表示的 \(\Phi\) 值）。当 \(\text{z} = 0\) 时，右尾概率恰好为 0.5，因为正态曲线是对称的。
公式解析
累积分布函数可用误差函数表示：\(\Phi(\text{z}) = \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{z}}{\sqrt{2}}\right)\right]\)。本计算器采用 Abramowitz & Stegun 的有理函数近似来计算 erf，精度约可达小数点后 7 位。随后右尾概率即为：
$$P(Z > \text{z}) = 1 - \Phi(\text{z}) = 1 - \frac{1}{2}\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\frac{\text{z}}{\sqrt{2}}\right)\right]$$百分位排名为 \(100 \times \Phi(\text{z})\)。
实例演算
以 \(\text{z} = 1.0\) 为例。累积概率 \(\Phi(1) \approx 0.8413\)，所以 $$P(Z > 1) = 1 - 0.8413 \approx 0.1587$$ 这意味着正态分布中约有 15.87% 的数据落在均值之上一个标准差以外，而 \(\text{z} = 1\) 大致对应第 84 百分位。
常见问题
负的 z 值会得到什么结果？当 \(\text{z} = -1.0\) 时，\(\Phi(-1) \approx 0.1587\)，因此右尾概率 \(P(Z > -1) \approx 0.8413\)——即约有 84% 的分布落在它之上。
这是单尾 p 值吗？是的。在右尾假设检验中，\(P(Z > \text{z})\) 正好就是你的检验统计量所对应的单侧 p 值。
计算结果有多精确？该近似的最大误差约为 \(1.5 \times 10^{-7}\)，对于一般统计工作来说绰绰有余。
