यह कैलकुलेटर क्या करता है
हर दीर्घवृत्त (ellipse) के अंदर दो विशेष बिंदु होते हैं जिन्हें नाभियाँ (foci) कहते हैं। दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु से इन दोनों नाभियों तक की दूरियों का योग हमेशा स्थिर रहता है। यह टूल दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्षों a और b तथा उसके केंद्र (h, k) से इन नाभियों को ज्ञात करता है, और साथ ही नाभीय दूरी c और उत्केंद्रता (eccentricity) भी बताता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष के अर्ध-अक्षों की लंबाई (a और b) तथा केंद्र के निर्देशांक (h, k) दर्ज करें। कैलकुलेटर अपने आप पहचान लेता है कि कौन-सा अक्ष लंबा है: यदि \(a \geq b\) है तो दीर्घ अक्ष क्षैतिज (horizontal) होता है और नाभियाँ \((h \pm c,\ k)\) पर स्थित होती हैं; अन्यथा दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर (vertical) होता है और नाभियाँ \((h,\ k \pm c)\) पर स्थित होती हैं। यदि केंद्र खाली छोड़ दें तो वह स्वतः मूल बिंदु (0, 0) मान लिया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
नाभीय दूरी होती है $$c = \sqrt{\left|\,a^{2} - b^{2}\,\right|}$$ निरपेक्ष मान (absolute value) के कारण आप अक्षों को किसी भी क्रम में दर्ज कर सकते हैं — परिणाम हमेशा वास्तविक और गैर-ऋणात्मक रहता है। दोनों अर्ध-अक्षों में से जो बड़ा होता है वही अर्ध-दीर्घ अक्ष कहलाता है, और नाभियाँ हमेशा दीर्घ अक्ष पर, केंद्र से समान दूरी पर स्थित होती हैं। उत्केंद्रता होती है \(e = c / (\text{अर्ध-दीर्घ अक्ष})\), जिसका मान 0 (पूर्ण वृत्त) से लेकर 1 के करीब (अत्यधिक लंबा-खिंचा दीर्घवृत्त) तक होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए एक दीर्घवृत्त है जिसमें a = 5, b = 3 है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है: $$c = \sqrt{\left|\,25 - 9\,\right|} = \sqrt{16} = 4$$ चूँकि a > b है, इसलिए दीर्घ अक्ष क्षैतिज है, अतः नाभियाँ (−4, 0) और (4, 0) पर होंगी। उत्केंद्रता होगी \(4 / 5 = 0.8\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि a और b बराबर हों तो? तब \(c = 0\) हो जाता है और दोनों नाभियाँ केंद्र पर ही सिमट जाती हैं — यानी दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है।
क्या इनपुट का क्रम मायने रखता है? नहीं। कैलकुलेटर निरपेक्ष अंतर का उपयोग करता है और बड़े अक्ष को ही दीर्घ अक्ष मानता है, इसलिए a और b को आपस में बदलने से सिर्फ नाभियों की दिशा (orientation) बदलती है।
उत्केंद्रता क्या है? यह इस बात का माप है कि दीर्घवृत्त कितना "खिंचा हुआ" है। 0 के करीब का मान लगभग वृत्ताकार होता है; 1 के करीब पहुँचता मान बहुत अधिक लंबा-खिंचा होता है।
