橢圓焦點計算器

輸入計算

半軸 a

半軸 b

中心 h（x）

中心 k（y）

結果

焦距（c）

4

從中心到各焦點的距離單位

焦點 1	(-4, 0)
焦點 2	(4, 0)
離心率	0.8

這個計算器的功能

橢圓內部有兩個特別的點，稱為焦點。橢圓上任何一點到這兩個焦點的距離總和都是固定的。這個工具會根據橢圓的半軸長 a、b 以及中心座標 (h, k)，求出這兩個焦點的位置，並一併算出焦距 c 與離心率。

使用方法

請輸入長半軸與短半軸的長度（a 與 b），以及中心座標 (h, k)。計算器會自動判斷哪一條軸較長：若 a ≥ b，長軸為水平方向，焦點落在 \((\text{h} \pm c,\ \text{k})\)；否則長軸為垂直方向，焦點落在 \((\text{h},\ \text{k} \pm c)\)。若中心欄位留空，預設為原點 (0, 0)。

公式解析

焦距的公式為 $$c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}$$ 取絕對值的好處是，不論你以何種順序輸入兩條軸，結果都會是實數且非負。兩個半軸中較長的那一條即為長半軸，焦點一定落在長軸上，且與中心等距。離心率為 \(e = c \div (\text{長半軸})\)，數值介於 0（正圓）到接近 1（非常扁長的橢圓）之間。

焦點位於長軸上，距中心 c，其中 \(c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}\)。

範例演算

以 a = 5、b = 3、中心在原點的橢圓為例：$$c = \sqrt{|25 - 9|} = \sqrt{16} = 4$$ 由於 a > b，長軸為水平方向，因此焦點位於 (−4, 0) 與 (4, 0)。離心率為 \(4 \div 5 = 0.8\)。

例題：將 a 與 b 代入公式即可確定每個焦點的位置。

常見問題

如果 a 等於 b 會怎樣？此時 \(c = 0\)，兩個焦點會重合於中心——這個橢圓其實就是一個圓。

輸入順序有影響嗎？沒有。計算器採用差的絕對值，並以較長的軸為長軸，因此交換 a 與 b 只會改變焦點的方向，不影響數值。

離心率代表什麼？它是衡量橢圓「被拉長」程度的指標。數值接近 0 表示形狀接近正圓；越接近 1 則代表橢圓越扁長。