橢圓焦點與離心率計算機

輸入計算

半軸 a

半軸 b

數學公式

Show calculation steps (2)

1. Area

   

   Area of the ellipse

2. Perimeter (Ramanujan)

   

   Ramanujan approximation; A = max(a,b), B = min(a,b), h = (A-B)^2 / (A+B)^2

結果

線性離心率（c）

4

圓心到每個焦點的距離

離心率（e）	0.8
長半軸	5
短半軸	3
面積	47.1239
周長（近似值）	25.527

這個計算機能做什麼

本工具會根據橢圓的兩個半軸 a 與 b 進行分析，為你計算出線性離心率 c（圓心到每個焦點的距離）、離心率 e、長半軸與短半軸、所圍面積，以及高精度的周長近似值。無論橢圓的長軸是水平還是垂直都適用，因為程式會自動將較大的數值視為長半軸。

使用方法

輸入兩個半軸的長度，單位一致即可（計算結果會沿用相同單位）。半軸是橢圓完整寬度或高度的一半。按下「計算」，立即就能看到焦距與離心率。

公式說明

橢圓的焦點落在長軸上，與圓心相距 c，其中

$$c = \sqrt{\left|\,a^{2} - b^{2}\,\right|}$$

離心率 \(e = \frac{c}{a_3}\)（\(a_3\) 為長半軸），用來衡量橢圓被拉伸的程度：\(e = 0\) 代表完美的圓，而當橢圓越來越細長時，\(e\) 會趨近於 1。面積為 \(\pi a b\)，周長則採用拉馬努金（Ramanujan）第二近似公式，對任何長寬比都極為精確。

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一個半軸為 a 和 b 的橢圓，它的兩個焦點，以及從中心到焦點的線性離心率 c。

範例演算

當 \(a = 5\)、\(b = 3\) 時：

$$c = \sqrt{\left|\,25 - 9\,\right|} = \sqrt{16} = 4$$

離心率

$$e = \frac{4}{5} = 0.8$$

面積

$$A = \pi \times 5 \times 3 \approx 47.124$$

兩個焦點分別位於長軸上、圓心兩側各 4 單位處。

常見問題

如果 a 等於 b 會怎樣？此時橢圓就是一個圓：\(c = 0\)、\(e = 0\)，焦點只剩圓心這一個點。

半軸輸入的順序重要嗎？不重要。計算機會自動判斷哪個是較大的軸，所以 a 與 b 任意順序輸入都可以。

為什麼周長只是近似值？橢圓的周長沒有簡單的封閉公式（需要用到橢圓積分）。拉馬努金公式的結果與真實值的誤差不到百分之一的極小部分，因此非常準確。