Что считает этот калькулятор
Инструмент анализирует эллипс по двум его полуосям — a и b. Он находит линейный эксцентриситет c (расстояние от центра до каждого из фокусов), эксцентриситет e, большую и малую полуоси, площадь фигуры, а также точное приближение её периметра. Калькулятор работает независимо от того, расположена ли длинная ось горизонтально или вертикально: он сам определяет большее значение и принимает его за большую полуось.
Как пользоваться
Введите длины двух полуосей в любых одинаковых единицах измерения (результат будет в тех же единицах). Полуось — это половина полной ширины или высоты эллипса. Нажмите «Рассчитать», и фокусное расстояние с эксцентриситетом появятся мгновенно.
Разбираем формулу
Фокусы эллипса лежат на большой оси на расстоянии c от центра, где \(c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}\). Эксцентриситет \(e = \dfrac{c}{\text{a}_3}\) (где a₃ — большая полуось) показывает, насколько вытянут эллипс: при e = 0 это идеальная окружность, а по мере того как эллипс становится всё более длинным и узким, e стремится к 1. Площадь равна \(\pi \cdot \text{a} \cdot \text{b}\), а периметр вычисляется по второй формуле Рамануджана — она исключительно точна при любом соотношении осей.
$$c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}, \qquad e = \frac{c}{\max(\text{a},\,\text{b})}$$$$P = \pi\,(A+B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)$$
Пример расчёта
Пусть a = 5 и b = 3: \(c = \sqrt{\left|25 - 9\right|} = \sqrt{16} = 4\). Эксцентриситет \(e = 4 / 5 = 0{,}8\). Площадь \(= \pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}124\). Оба фокуса находятся на расстоянии 4 единицы по обе стороны от центра вдоль большой оси.
Частые вопросы
Что если a равно b? Тогда эллипс превращается в окружность: c = 0 и e = 0, а единственный «фокус» совпадает с центром.
Важен ли порядок осей? Нет. Калькулятор сам определяет большую ось, поэтому a и b можно вводить в любом порядке.
Почему периметр приближённый? У периметра эллипса нет простой замкнутой формулы — для его точного вычисления нужен эллиптический интеграл. Формула Рамануджана совпадает с истинным значением с точностью до ничтожной доли процента.
