Что делает этот калькулятор
Инструмент разбирает горизонтальную гиперболу, заданную каноническим уравнением \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\). По центру (h, k) и полуосям a и b он сразу выдаёт все ключевые характеристики: центр, две вершины, два фокуса, фокусное расстояние c, угловой коэффициент асимптот и эксцентриситет. Пригодится при изучении алгебры, начал математического анализа и аналитической геометрии.
Как пользоваться
Введите координаты центра h и k, а затем положительные значения a (действительная полуось, под слагаемым с x) и b (мнимая полуось, под слагаемым с y). Нажмите «Рассчитать» — и вы увидите все производные параметры. Если гипербола центрирована в начале координат, просто укажите 0 для h и k.
Разбор формулы
У горизонтальной гиперболы действительная ось направлена горизонтально. Вершины расположены на расстоянии a слева и справа от центра: \((h \pm a, k)\). Фокусы отстоят от центра на c, где \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), то есть лежат в точках \((h \pm c, k)\). Асимптоты проходят через центр с угловыми коэффициентами \(\pm\frac{b}{a}\), поэтому их уравнения:
$$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$$Эксцентриситет \(e = \frac{c}{a}\) у гиперболы всегда больше 1.
Разобранный пример
Пусть a = 3, b = 4, центр (0, 0). Тогда
$$c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$Вершины — (3, 0) и (−3, 0); фокусы — (5, 0) и (−5, 0). Угловой коэффициент асимптот равен \(\frac{4}{3} \approx 1{,}333\), а эксцентриситет \(e = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\).
Частые вопросы
А вертикальные гиперболы он считает? Калькулятор работает с канонической горизонтальной формой (положительное слагаемое с x). Для вертикальной гиперболы поменяйте местами роли x и y.
Почему эксцентриситет больше 1? Потому что у гиперболы c всегда больше a, и поэтому \(e = \frac{c}{a}\) превышает 1 — именно это заставляет ветви кривой расходиться наружу.
Что такое a и b? a — это расстояние от центра до каждой вершины; b задаёт мнимую ось и вместе с a определяет угловой коэффициент асимптот \(\frac{b}{a}\).
