Ce que fait ce calculateur
Cet outil analyse une hyperbole horizontale écrite sous sa forme réduite, \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\). À partir du centre (h, k) et des demi-axes a et b, il vous livre tous les éléments caractéristiques : le centre, les deux sommets, les deux foyers, la distance focale c, la pente des asymptotes et l'excentricité. Idéal pour vos révisions en algèbre, en mathématiques de terminale ou de licence et en géométrie analytique.
Mode d'emploi
Saisissez les coordonnées du centre h et k, puis les valeurs positives a (le demi-axe transverse, sous le terme en x) et b (le demi-axe conjugué, sous le terme en y). Cliquez sur « Calculer » pour afficher toutes les propriétés déduites. Si votre équation est centrée à l'origine, indiquez simplement 0 pour h et pour k.
La formule expliquée
Pour une hyperbole horizontale, l'axe transverse est horizontal. Les sommets se trouvent à a unités à gauche et à droite du centre : \((h \pm a, k)\). Les foyers sont situés à c unités du centre, avec \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), soit \((h \pm c, k)\). Les asymptotes passent par le centre et ont pour pentes \(\pm\frac{b}{a}\) ; leurs équations s'écrivent donc $$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h).$$ L'excentricité \(e = \frac{c}{a}\) est toujours supérieure à 1 pour une hyperbole.
Exemple résolu
Prenons \(a = 3\), \(b = 4\) et un centre en (0, 0). On obtient alors $$c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ Les sommets sont (3, 0) et (−3, 0) ; les foyers, (5, 0) et (−5, 0). La pente des asymptotes vaut \(\frac{4}{3} \approx 1{,}333\) et l'excentricité \(e = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\).
Questions fréquentes
Cet outil gère-t-il les hyperboles verticales ? Ce calculateur suppose la forme réduite horizontale (terme en x positif). Pour une hyperbole verticale, intervertissez les rôles de x et de y.
Pourquoi l'excentricité est-elle supérieure à 1 ? Parce que c est toujours plus grand que a pour une hyperbole : \(e = \frac{c}{a}\) dépasse donc 1 — c'est précisément ce qui fait que la courbe s'ouvre vers l'extérieur.
Que représentent a et b ? a est la distance entre le centre et chaque sommet ; b commande l'axe conjugué et, associé à a, détermine la pente des asymptotes \(\frac{b}{a}\).
