이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 표준형 \((x - h)^2/a^2 - (y - k)^2/b^2 = 1\)로 표현된 가로형(좌우로 열린) 쌍곡선을 분석합니다. 중심 (h, k)과 반축 a, b 값만 입력하면 핵심 요소를 모두 구해 줍니다. 중심, 두 꼭짓점, 두 초점, 초점거리 c, 점근선의 기울기, 그리고 이심률까지 한눈에 확인할 수 있죠. 고등학교 수학(이차곡선)부터 대학 미적분 준비, 해석기하학 과제까지 두루 활용하기 좋습니다.
사용 방법
먼저 중심 좌표 h와 k를 입력하고, 그다음 양수인 a(x 항 아래에 있는 반횡축)와 b(y 항 아래에 있는 반켤레축)를 입력합니다. 계산 버튼을 누르면 관련된 모든 속성이 한 번에 표시됩니다. 만약 방정식이 원점을 중심으로 한다면 h와 k에 모두 0을 넣으면 됩니다.
공식 풀이
가로형 쌍곡선에서는 횡축(주축)이 수평 방향입니다. 두 꼭짓점은 중심에서 좌우로 a만큼 떨어진 \((h \pm a, k)\)에 위치합니다. 초점은 중심에서 c만큼 떨어져 있으며, 이때 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)이므로 좌표는 \((h \pm c, k)\)가 됩니다. 점근선은 중심을 지나고 기울기가 \(\pm b/a\)이므로, 방정식은 \(y = k \pm (b/a)(x - h)\)로 나타냅니다. 이심률 \(e = c/a\)는 쌍곡선에서 항상 1보다 큽니다.
$$\frac{\left(x-\text{h}\right)^2}{\text{a}^2}-\frac{\left(y-\text{k}\right)^2}{\text{b}^2}=1$$여기서
$$\left\{ \begin{aligned} c &= \sqrt{\text{a}^2+\text{b}^2} \\ e &= \dfrac{c}{\text{a}} \\ m &= \pm\dfrac{\text{b}}{\text{a}} \end{aligned} \right.$$
예제로 보기
\(a = 3\), \(b = 4\), 중심을 \((0, 0)\)이라고 해 봅시다. 그러면 \(c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)입니다. 꼭짓점은 \((3, 0)\)과 \((-3, 0)\)이고, 초점은 \((5, 0)\)과 \((-5, 0)\)입니다. 점근선의 기울기는 \(4/3 \approx 1.333\)이며, 이심률은 \(e = 5/3 \approx 1.667\)입니다.
자주 묻는 질문
세로형 쌍곡선도 계산할 수 있나요? 이 계산기는 표준 가로형(x 항이 양수)을 기준으로 합니다. 세로형 쌍곡선이라면 x와 y의 역할을 서로 바꿔서 적용하면 됩니다.
이심률은 왜 1보다 큰가요? 쌍곡선에서는 c가 항상 a보다 크기 때문에 \(e = c/a\)가 1을 넘습니다. 바로 이 점이 곡선이 바깥쪽으로 벌어지게 만드는 특징입니다.
a와 b는 무엇을 뜻하나요? a는 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리입니다. b는 켤레축을 결정하며, a와 함께 점근선의 기울기 \(b/a\)를 정합니다.
