यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल मानक रूप में लिखे गए क्षैतिज हाइपरबोला का विश्लेषण करता है, \(\frac{\left(x-h\right)^2}{a^2}-\frac{\left(y-k\right)^2}{b^2}=1\)। केंद्र (h, k) और अर्ध-अक्षों a तथा b से यह हर अहम विशेषता निकाल देता है: केंद्र, दोनों शीर्ष, दोनों नाभि, नाभीय दूरी c, अनंतस्पर्शी रेखाओं की ढाल और उत्केंद्रता। यह बीजगणित, प्री-कैलकुलस और निर्देशांक ज्यामिति की पढ़ाई में बहुत काम आता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले केंद्र के निर्देशांक h और k दर्ज करें, फिर धनात्मक मान a (अर्ध-अनुप्रस्थ अक्ष, जो x पद के नीचे है) और b (अर्ध-संयुग्मी अक्ष, जो y पद के नीचे है) भरें। सभी व्युत्पन्न गुण देखने के लिए calculate दबाएं। अगर आपका समीकरण मूल बिंदु पर केंद्रित है, तो h और k दोनों के लिए बस 0 दर्ज कर दें।
सूत्र की व्याख्या
क्षैतिज हाइपरबोला में अनुप्रस्थ अक्ष क्षैतिज होता है। शीर्ष केंद्र से a इकाई बाएं और दाएं स्थित होते हैं: \((h \pm a, k)\)। नाभि केंद्र से c इकाई दूर होती हैं, जहां \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\), यानी \((h \pm c, k)\)। अनंतस्पर्शी रेखाएं केंद्र से होकर गुजरती हैं और उनकी ढाल \(\pm\frac{b}{a}\) होती है, इसलिए उनके समीकरण \(y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)\) होते हैं। उत्केंद्रता \(e = \frac{c}{a}\) किसी भी हाइपरबोला के लिए हमेशा 1 से अधिक होती है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए a = 3, b = 4 और केंद्र (0, 0) है। तब $$c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ शीर्ष होंगे (3, 0) और (−3, 0); नाभि होंगी (5, 0) और (−5, 0)। अनंतस्पर्शी ढाल \(\frac{4}{3} \approx 1.333\) है, और उत्केंद्रता \(e = \frac{5}{3} \approx 1.667\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह ऊर्ध्वाधर हाइपरबोला को संभालता है? यह कैलकुलेटर मानक क्षैतिज रूप (जिसमें x पद धनात्मक हो) मानकर चलता है। ऊर्ध्वाधर हाइपरबोला के लिए x और y की भूमिकाएं आपस में बदल दें।
उत्केंद्रता 1 से अधिक क्यों होती है? क्योंकि हाइपरबोला में c हमेशा a से बड़ा होता है, इसलिए \(e = \frac{c}{a}\) का मान 1 से ज़्यादा निकलता है — यही वजह है कि वक्र बाहर की ओर खुलता है।
a और b क्या हैं? a केंद्र से हर शीर्ष तक की दूरी है; b संयुग्मी अक्ष को नियंत्रित करता है और a के साथ मिलकर अनंतस्पर्शी ढाल \(\frac{b}{a}\) तय करता है।
