Công cụ này làm được gì
Công cụ phân tích một hyperbol nằm ngang viết dưới dạng chính tắc, \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\). Từ tâm \((h, k)\) cùng hai bán trục \(a\) và \(b\), công cụ trả về mọi yếu tố quan trọng: tâm, hai đỉnh, hai tiêu điểm, khoảng cách tiêu \(c\), hệ số góc của các đường tiệm cận và tâm sai. Đây là trợ thủ đắc lực khi học đại số, giải tích sơ cấp và hình học giải tích.
Cách sử dụng
Nhập tọa độ tâm \(h\) và \(k\), sau đó nhập các giá trị dương \(a\) (bán trục thực, nằm dưới số hạng x) và \(b\) (bán trục ảo, nằm dưới số hạng y). Nhấn tính toán để xem toàn bộ tính chất suy ra được. Nếu phương trình của bạn có tâm tại gốc tọa độ, chỉ cần nhập 0 cho cả \(h\) và \(k\).
Giải thích công thức
Với hyperbol nằm ngang, trục thực nằm ngang. Hai đỉnh nằm cách tâm \(a\) đơn vị về bên trái và bên phải: \((h \pm a, k)\). Hai tiêu điểm nằm cách tâm \(c\) đơn vị, với $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ tức là \((h \pm c, k)\). Các đường tiệm cận đi qua tâm với hệ số góc \(\pm\frac{b}{a}\), nên phương trình của chúng là $$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$$ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\) luôn lớn hơn 1 đối với hyperbol.
Ví dụ minh họa
Lấy \(a = 3\), \(b = 4\), tâm \((0, 0)\). Khi đó $$c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Hai đỉnh là \((3, 0)\) và \((-3, 0)\); hai tiêu điểm là \((5, 0)\) và \((-5, 0)\). Hệ số góc tiệm cận là \(\frac{4}{3} \approx 1{,}333\), và tâm sai \(e = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\).
Câu hỏi thường gặp
Công cụ có xử lý được hyperbol nằm dọc không? Công cụ này giả định dạng chính tắc nằm ngang (số hạng x mang dấu dương). Với hyperbol nằm dọc, bạn chỉ cần hoán đổi vai trò của \(x\) và \(y\).
Vì sao tâm sai luôn lớn hơn 1? Bởi vì với hyperbol, \(c\) luôn lớn hơn \(a\), nên \(e = \frac{c}{a}\) vượt quá 1 — chính điều này khiến đường cong mở rộng ra hai phía.
a và b là gì? \(a\) là khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh; \(b\) quyết định trục ảo và, cùng với \(a\), xác định hệ số góc tiệm cận \(\frac{b}{a}\).
