このツールでできること
このツールは、標準形 \(\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\) で表される「横型（x軸方向に開く）双曲線」を解析します。中心 \((h, k)\) と半軸 \(a\)・\(b\) を入力するだけで、中心・2つの頂点・2つの焦点・焦点距離 \(c\)・漸近線の傾き・離心率といった主要な要素をすべて算出。代数、微分積分の準備学習（プレカリキュラス）、解析幾何の課題に役立ちます。
使い方
まず中心の座標 \(h\) と \(k\) を入力し、続いて \(a\)（x の項の下にある半横軸＝半実軸）と \(b\)（y の項の下にある半縦軸＝半共役軸）を正の値で入力します。「計算」を押せば、導かれるすべての性質が表示されます。原点を中心とする方程式の場合は、\(h\) と \(k\) の両方に 0 を入力するだけで構いません。
公式の解説
横型双曲線では、主軸（実軸）が水平方向になります。頂点は中心から左右に \(a\) だけ離れた位置、すなわち \((h \pm a, k)\) にあります。焦点は中心から \(c\) だけ離れた位置にあり、$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ で求められるため、座標は \((h \pm c, k)\) となります。漸近線は中心を通り、傾きは \(\pm \frac{b}{a}\) なので、その方程式は $$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$$ です。離心率 \(e = \frac{c}{a}\) は、双曲線では常に 1 より大きくなります。
計算例
\(a = 3\)、\(b = 4\)、中心 \((0, 0)\) としてみましょう。このとき $$c = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ です。頂点は \((3, 0)\) と \((-3, 0)\)、焦点は \((5, 0)\) と \((-5, 0)\) になります。漸近線の傾きは \(\frac{4}{3} \approx 1.333\)、離心率は \(e = \frac{5}{3} \approx 1.667\) です。
よくある質問
縦型の双曲線にも対応していますか？ このツールは標準形の横型（x の項が正）を前提としています。縦型双曲線の場合は、x と y の役割を入れ替えて考えてください。
なぜ離心率は 1 を超えるのですか？ 双曲線では \(c\) が常に \(a\) より大きいため、\(e = \frac{c}{a}\) は必ず 1 を超えます。これこそが、曲線が外側に向かって開いていく理由です。
a と b とは何ですか？ \(a\) は中心から各頂点までの距離です。\(b\) は共役軸を決める値で、\(a\) と組み合わさることで漸近線の傾き \(\frac{b}{a}\) を定めます。
