복합 부등식 계산기란?
복합 부등식은 두 개의 부등식을 하나의 식으로 묶은 것으로, 가장 흔히 \(a < bx + c < d\) 형태로 쓰입니다. 이 계산기는 두 조건을 모두 만족하는 "그리고(AND, 교집합)" 형태를 변수 x에 대해 풀어 그 해 구간을 알려줍니다. 어디서나 동일한 규칙이 적용되는 보편적인 대수 도구이므로, 특정 국가나 단위가 필요 없습니다.
사용 방법
부등식에 나오는 네 개의 숫자를 입력하세요. 하한값 a, x 앞의 계수 b, 상수 c, 그리고 상한값 d입니다. 계산 버튼을 누르면 x의 해를 부등식 형태와 구간 표기법 두 가지로 보여줍니다. 만족하는 x 값이 없으면 "해 없음"으로, 모든 값이 만족하면 "모든 실수"로 표시됩니다.
공식 풀이
x를 분리하려면 복합 부등식의 세 부분 모두에 같은 연산을 적용합니다.
$$\text{a} < \text{b}\,x + \text{c} < \text{d} \;\Longrightarrow\; \frac{\text{a} - \text{c}}{\text{b}} < x < \frac{\text{d} - \text{c}}{\text{b}}$$먼저 c를 빼면 \(a - c < bx < d - c\)가 됩니다. 그다음 모든 부분을 b로 나눕니다. 여기서 핵심 규칙은 b가 음수이면 두 부등호의 방향이 모두 뒤집힌다는 점이며, 이때 하한과 상한이 서로 바뀝니다. 이 계산기는 이 과정을 자동으로 처리하고, 항상 작은 값이 왼쪽에 오도록 정렬해 줍니다.
예제 풀이
\(-3 < 2x + 1 < 7\)을 풀어봅시다. 모든 부분에서 1을 빼면 \(-4 < 2x < 6\)이 됩니다. 2로 나누면 \(-2 < x < 3\)이 됩니다. 따라서 해 구간은 \((-2, 3)\)입니다.
자주 묻는 질문
음수 b로 나누면 어떻게 되나요? 부등호의 방향이 모두 반대로 바뀝니다. 예를 들어 \(-3 < -2x + 1 < 7\)은 방향을 뒤집고 재정렬하면 \(-2 < x < 2\)가 됩니다.
"해 없음"은 무슨 뜻인가요? 하한값과 상한값이 서로 엇갈려, 두 조건을 동시에 만족하는 x가 존재하지 않는다는 의미입니다.
b = 0인 경우도 처리할 수 있나요? 네. x 항이 없으면 식은 \(a < c < d\)가 성립하는지 여부에 따라 항상 참(모든 실수)이거나 항상 거짓(해 없음)이 됩니다.
