이 계산기의 기능
이 도구는 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) 형태의 모든 삼차방정식을 풀어 세 개의 근을 구합니다. 방정식에 따라 근은 서로 다른 세 개의 실근일 수도 있고, 중근(반복되는 실근)일 수도 있으며, 하나의 실근과 켤레복소수 형태의 두 허근이 짝을 이룰 수도 있습니다. 순수한 수학 계산이므로 어느 나라에서든 동일하게 작동합니다.
사용 방법
네 개의 계수 a, b, c, d를 입력하세요. 최고차항의 계수 a는 0이 아니어야 합니다(그렇지 않으면 삼차방정식이 성립하지 않습니다). 표시할 유효숫자 자릿수를 선택한 뒤, 세 개의 근과 판별식, 근의 분류 결과를 확인하면 됩니다.
공식 설명
먼저 양변을 a로 나누어 \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\) 형태로 정규화합니다. 이어서 \(x = t - B/3\)를 대입하면 이차항이 사라지고 $$p = C - \frac{B^2}{3},\quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D$$ 인 간략화된 삼차식 \(t^3 + pt + q = 0\)이 만들어집니다. 이때 판별식 $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$ 의 값이 경우를 결정합니다. \(\Delta > 0\)이면 실근 하나와 허근 두 개가 나오며(카르다노의 근호 형태), \(\Delta = 0\)이면 중근이 생기고, \(\Delta < 0\)이면 세 근이 모두 실수여서 삼각함수 형태 \(t_k = m\cdot\cos(\theta - 2\pi k/3)\)를 사용합니다. 마지막으로 각 근을 \(-B/3\)만큼 다시 이동시키면 됩니다.
풀이 예제
\(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\)의 경우 \(p = -\frac{37}{3}\), \(q = 4.07407\)이고 \(\Delta \approx -65.33 < 0\)이므로 세 근이 모두 실근입니다. 삼각함수 형태로 풀면 \(x = 4\), \(x = 1\), \(x = -3\)이 나오며, 실제로 \((x-4)(x-1)(x+3)\)으로 인수분해됩니다.
자주 묻는 질문
a가 0이 아니어야 하는 이유는? \(a = 0\)이면 최고차항이 사라져 방정식이 기껏해야 이차방정식이 되므로, 카르다노 공식을 적용할 수 없습니다.
판별식은 무엇을 의미하나요? 판별식의 부호로 근을 분류합니다. 양수이면 실근 하나와 허근 두 개, 0이면 중근, 음수이면 서로 다른 세 개의 실근이 나옵니다.
허근은 어떻게 표시되나요? 허근이 있을 때는 켤레쌍 \(re + im\cdot i\) 와 \(re - im\cdot i\) 형태로 나타나며, 순수한 실근은 허수부가 0으로 표시됩니다.
