이차부등식이란?
이차부등식은 \(\text{a}x^2 + \text{b}x + \text{c} > 0\) 처럼 이차식을 0과 비교하는 식입니다. 그 해는 식을 참으로 만드는 모든 실수 \(x\)의 집합이죠. 이차식의 그래프가 포물선이기 때문에 해의 모양은 늘 몇 가지 형태 중 하나로 정해집니다. 즉 바깥쪽으로 뻗는 두 개의 반직선, 양 끝이 막힌 하나의 구간, 모든 실수, 한 점, 또는 해가 전혀 없는 경우입니다. 이는 순수 수학이라 어느 나라에서나 동일하게 적용됩니다.
계산기 사용법
먼저 \(\text{a}x^2 + \text{b}x + \text{c}\)에 적용할 부등호를 고른 다음, 계수 \(\text{a}\), \(\text{b}\), \(\text{c}\)를 입력하세요. 계수 \(\text{a}\)는 반드시 0이 아니어야 합니다. \(\text{a}\)가 0이면 식이 일차식이 되므로, 그때는 일차부등식 계산기를 사용해야 합니다. 표시할 유효숫자 자릿수를 정한 뒤, 해집합과 판별식, 두 근, 그리고 그래프를 그릴 때 쓰는 포물선의 꼭짓점을 확인하면 됩니다.
풀이 원리
가장 먼저 판별식 \(D = \text{b}^2 - 4\,\text{a}\,\text{c}\)를 계산합니다. \(D > 0\)이면 서로 다른 두 근 lo와 hi가 있고, \(D = 0\)이면 중근 하나, \(D < 0\)이면 실근이 없습니다. 다음으로 포물선의 모양을 봅니다. \(\text{a} > 0\)이면 아래로 볼록(위로 열림)이라 두 근 사이에서는 음수, 바깥에서는 양수가 되고, \(\text{a} < 0\)이면 위로 볼록(아래로 열림)이라 부호가 반대가 됩니다. 선택한 부등호를 이 영역과 맞추면 해가 나옵니다. "큰" 쪽 부등식(\(>\), \(\ge\))은 두 근의 바깥, "작은" 쪽 부등식(\(<\), \(\le\))은 두 근 사이가 해가 되며, 등호가 있는 부등호(\(\ge\), \(\le\))일 때만 끝점이 해에 포함됩니다.
예제로 풀어보기
\(x^2 + x - 2 > 0\)을 풀어봅시다. 여기서 \(\text{a} = 1\), \(\text{b} = 1\), \(\text{c} = -2\) 입니다. \(D = 1 - 4(1)(-2) = 9\) 이므로 \(\sqrt{D} = 3\) 입니다. 두 근은 $$\frac{-1 - 3}{2} = -2 \quad\text{와}\quad \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ 이므로 lo \(= -2\), hi \(= 1\) 입니다. \(\text{a} > 0\)이고 부등호가 "\(>\)"이므로 식은 두 근의 바깥에서 양수가 되어, 해는 \(x < -2\) 또는 \(x > 1\) 입니다. 꼭짓점은 \(x = -0.5\), \(y = -2.25\) 에 있습니다.
자주 묻는 질문
\(D < 0\)일 때는 어떻게 되나요? 포물선이 x축에 전혀 닿지 않습니다. 위로 열린 포물선이라면 식이 항상 양수이므로 "\(>\)"와 "\(\ge\)"는 모든 실수가 해이고 "\(<\)"와 "\(\le\)"는 해가 없습니다. 아래로 열린 포물선이라면 그 반대가 됩니다.
중근일 때는 왜 해가 한 점이 되나요? \(D = 0\)이면 포물선이 한 점 \(r = -\text{b}/(2\,\text{a})\)에서 x축에 접합니다. 그 점에서는 접하는 쪽과 맞는 등호 부등호(예: \(\text{a} > 0\)일 때 "\(\le\)")만 만족하므로 해가 \(x = r\) 한 점이 됩니다.
\(\text{a}\)가 0이 될 수 있나요? 안 됩니다. \(\text{a} = 0\)이면 식이 일차식이 되고 근을 구하는 공식에서 0으로 나누는 일이 생깁니다. 이 경우 계산기는 일차부등식 계산기를 사용하라고 안내합니다.
