二次不等式の解

判別式 D ＝ b² − 4ac	9
解 α	1
解 β	-2
頂点の x 座標＝ −b/(2a)	-0.5
頂点の y 座標	-2.25
放物線の向き（凸の方向）	Upward (a > 0)

二次不等式とは

二次不等式とは、$\text{a}x^2+\text{b}x+\text{c}>0$ のように、二次式と 0 の大小を比べる不等式のことです。その解は、不等式を成り立たせる実数 x の値すべての集合になります。二次関数のグラフは放物線になるため、解の形は必ず次のいずれかにまとまります。すなわち、外側に伸びる2つの範囲・1つの区間・すべての実数・1点だけ・解なし、の5パターンです。これは純粋な数学なので、どの国でも同じように成り立ちます。

上に開く放物線が2つの根でx軸と交わり、軸の上と下の領域が別々に塗り分けられている — 二次不等式は放物線を0と比較する。解は曲線がx軸の上にあるか下にあるかで決まる。

この計算機の使い方

まず $\text{a}x^2+\text{b}x+\text{c}$ に対して使いたい不等号を選び、続けて係数 a・b・c を入力します。a は 0 以外でなければなりません。a＝0 のときは式が一次式になってしまうので、その場合は一次不等式の計算機をご利用ください。表示する有効桁数を選べば、解の範囲・判別式・2つの解・グラフを描くための放物線の頂点をまとめて読み取れます。

解き方の考え方

はじめに判別式 $D=\text{b}^2-4\,\text{a}\,\text{c}$ を計算します。D＞0 なら異なる2つの解 lo と hi をもち、D＝0 なら重解（1つの解）をもち、D＜0 なら実数の解はありません。次に放物線の向きを確認します。a＞0 のとき下に凸（解と解の間で負、外側で正）、a＜0 のとき上に凸（符号が逆転）です。選んだ不等号をこれらの領域に当てはめれば解が決まります。「より大きい」系なら解の外側、「より小さい」系なら解の間が答えとなり、≧・≦ のような等号つきの不等号のときだけ端の値も含めます。次の公式が成り立ちます。

$$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^2 - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$$$\text{a}x^2 + \text{b}x + \text{c} > 0 \;\Rightarrow\; x < \alpha \;\text{ or }\; x > \beta$$

2つの根で3つの区間に分けられた数直線と、二次式の符号記号 — 根が数直線を区間に分け、各区間を調べると式の符号が分かる。

計算例

$x^2+x-2>0$ を解いてみましょう。ここでは a＝1、b＝1、c＝−2 です。$D=1-4(1)(-2)=9$ なので $\sqrt{D}=3$。解は $(-1-3)/2=-2$ と $(-1+3)/2=1$ で、lo＝−2、hi＝1 となります。a＞0 で不等号が「＞」なので、式は解の外側で正になり、答えは x＜−2 または x＞1 です。頂点は x＝−0.5、y＝−2.25 にあります。