İkinci Dereceden Eşitsizlik Çözücü Hesaplama Aracı

Diskriminant D = b² - 4ac	9
Kök alfa	1
Kök beta	-2
Tepe noktası x = -b/(2a)	-0,5
Tepe noktası y	-2,25
Parabolün açılma yönü	Upward (a > 0)

İkinci dereceden eşitsizlik nedir?

İkinci dereceden bir eşitsizlik, ikinci dereceden bir ifadeyi sıfırla karşılaştırır; örneğin $\text{a}x^2 + \text{b}x + \text{c} > 0$. Çözümü, ifadeyi doğru kılan tüm gerçek $x$ değerlerinin kümesidir. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir parabol olduğu için, çözüm her zaman birkaç şekilden birini alır: dışa doğru iki ışın, tek bir sınırlı aralık, tüm gerçek sayılar, tek bir nokta ya da hiç çözüm olmaması. Bu tamamen matematiksel bir konudur ve her yerde aynı şekilde işler.

Yukarı açılan parabol x eksenini iki kökte keser, eksenin üstündeki ve altındaki bölgeler farklı taranmış — İkinci dereceden eşitsizlik parabolü sıfırla karşılaştırır: çözüm, eğrinin x ekseninin üstünde mi altında mı olduğuna bağlıdır.

Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Önce $\text{a}x^2 + \text{b}x + \text{c}$ ifadesine uygulanmasını istediğiniz eşitsizlik işaretini seçin, ardından $\text{a}$, $\text{b}$ ve $\text{c}$ katsayılarını girin. $\text{a}$ katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır; aksi takdirde ifade birinci derecedendir (doğrusal) ve onun yerine bir doğrusal eşitsizlik çözücü kullanmalısınız. Görüntülenecek anlamlı basamak sayısını belirleyin, ardından çözüm kümesini, diskriminantı, iki kökü ve çizim için kullanılan parabol tepe noktasını okuyun.

Yöntemin açıklaması

Önce diskriminantı hesaplayın: $$D = \text{b}^2 - 4\,\text{a}\,\text{c}$$ $D > 0$ ise iki farklı kök vardır (lo ve hi); $D = 0$ ise tek bir çift kök vardır; $D < 0$ ise gerçek kök yoktur. Sonra şunu unutmayın: $\text{a} > 0$ olduğunda parabol yukarı doğru açılır (kökler arasında negatif, dışında pozitif), $\text{a} < 0$ olduğunda ise aşağı doğru açılır (işaretler tersine döner). Seçtiğiniz işareti bu bölgelerle eşleştirmek çözümü verir: "büyüktür" ailesi için kökler dışında, "küçüktür" ailesi için kökler arasında; uç noktalar yalnızca kesin olmayan işaretler ($\ge$, $\le$) için çözüme dahil edilir.

Reklam

İki kökle üç aralığa bölünmüş sayı doğrusu ve ikinci dereceden ifadenin işaret sembolleri — Kökler sayı doğrusunu aralıklara böler; her aralığı test etmek ifadenin işaretini verir.

Çözümlü örnek

$x^2 + x - 2 > 0$ eşitsizliğini çözelim. Burada $\text{a} = 1$, $\text{b} = 1$, $\text{c} = -2$. $$D = 1 - 4(1)(-2) = 9$$ dolayısıyla $\sqrt{D} = 3$. Kökler $$\frac{-1 - 3}{2} = -2 \quad\text{ve}\quad \frac{-1 + 3}{2} = 1$$ yani lo $= -2$, hi $= 1$. $\text{a} > 0$ ve işaret $>$ olduğundan, ifade kökler dışında pozitiftir; bu da $x < -2$ veya $x > 1$ çözümünü verir. Tepe noktası $x = -0{,}5$, $y = -2{,}25$ konumundadır.

Sık sorulan sorular

$D < 0$ olduğunda ne olur? Parabol x eksenine hiç değmez. Yukarı açılan bir parabolde ifade her zaman pozitiftir; dolayısıyla $>$ ve $\ge$ tüm gerçek sayıları verirken $<$ ve $\le$ hiçbir çözüm vermez. Aşağı açılan bir parabolde ise durum tam tersidir.

Çift kök durumu neden tek bir nokta verir? $D = 0$ olduğunda parabol eksene tek bir noktada, $r = -\text{b}/(2\text{a})$ noktasında değer. Burada yalnızca değme tarafına uyan, kesin olmayan işaret (örneğin $\text{a} > 0$ iken $\le$) sağlanır ve sonuç $x = r$ olur.

$\text{a}$ sıfır olabilir mi? Hayır. $\text{a} = 0$ olduğunda ifade birinci derecedendir, kök formülü sıfıra bölme yapar ve hesaplama aracı sizi bir doğrusal eşitsizlik çözücü kullanmaya yönlendirir.