İkinci Dereceden Denklem Çözücü

Hesaplamaya Girin

a (coefficient of x²)

b (x katsayısı)

c (sabit terim)

Anlamlı basamak 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Formül

Show calculation steps (1)

1. Discriminant

   

   D > 0: two distinct real roots; D = 0: one repeated real root; D < 0: two complex conjugate roots.

Sonuç

Roots of ax² + bx + c = 0

x₁ = 1, x₂ = -2,5

Two distinct real roots

Discriminant (D = b² − 4ac)	49
Root x₁ (real part)	1
Root x₁ (imaginary part)	0
Root x₂ (real part)	-2,5
Root x₂ (imaginary part)	0

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, standart biçimde yazılan her ikinci dereceden denklemi çözer: \(ax^2 + bx + c = 0\). Burada a, b ve c gerçek katsayılar olup a ≠ 0 koşulu geçerlidir. Hesaplayıcı size her iki kökü (gerçek ya da karmaşık), diskriminantı ve köklerin türünü sade bir dille açıklayan bir özet sunar.

Nasıl kullanılır?

Üç katsayıyı girmeniz yeterli. a katsayısı x² ile, b katsayısı x ile çarpılır; c ise sabit terimdir. a sıfır olursa denklem artık ikinci dereceden olmaktan çıkar, bu yüzden hesaplayıcı sizden sıfırdan farklı bir değer girmenizi ister. Açılır menüden kaç anlamlı basamak gösterileceğini seçebilirsiniz; bu yalnızca sonucun yuvarlanmasını etkiler, asıl hesaplamayı değiştirmez.

Formülün açıklaması

Kökler, ikinci dereceden denklem formülünden elde edilir:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Buradaki diskriminant

$$D = b^2 - 4ac$$

şeklindedir. \(D > 0\) olduğunda birbirinden farklı iki gerçek kök vardır. \(D = 0\) olduğunda ± terimi yok olur ve tek bir katlı gerçek kök elde edilir: \(x = -b / (2a)\). \(D < 0\) olduğunda ise karekök sanal olur ve gerçek kısmı \(-b / (2a)\), sanal kısmı \(\sqrt{-D} / (2a)\) olan eşlenik karmaşık kök çifti ortaya çıkar.

Diskriminantın işareti, parabolün x eksenini iki kez, bir kez ya da hiç kesmediğini belirler.

İkinci dereceden denklem formülü; karekök içinde diskriminant \(b^2 - 4ac\).

Çözümlü örnek

\(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\) için:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

\(D > 0\) olduğundan \(\sqrt{49} = 7\) olur. Buna göre

$$x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \quad \text{ve} \quad x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -2{,}5$$

bulunur. Kökler 1 ve −2,5'tir.

Sıkça sorulan sorular

Diskriminant negatifse ne olur? Bu durumda \(p \pm qi\) biçiminde iki eşlenik karmaşık kök elde edersiniz; hesaplayıcı gerçek kısmı p ve sanal kısmı q ayrı ayrı gösterir.

a neden sıfırdan farklı olmak zorunda? \(a = 0\) olursa x² terimi ortadan kalkar ve denklem birinci dereceden (\(bx + c = 0\)) hale gelir. Bu durumda formüldeki \(2a\)'ya bölme işlemi tanımsız olur.

Anlamlı basamak ayarı sonucu değiştirir mi? Hayır. Yalnızca gösterilen basamak sayısını belirler; hesaplama tam çift duyarlıkla yapılır, sonuç yalnızca gösterim için yuvarlanır.