ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة أي معادلة تربيعية مكتوبة بالصيغة القياسية \(ax^2 + bx + c = 0\)، حيث تكون a وb وc معاملات حقيقية وبشرط أن يكون a ≠ 0. وتُرجع لك الجذرين معًا (حقيقيين كانا أم مركّبين)، وقيمة المميّز، ووصفًا واضحًا بلغة بسيطة لنوع هذه الجذور.
طريقة الاستخدام
أدخل المعاملات الثلاثة. المعامل a هو الذي يُضرب في \(x^2\)، والمعامل b هو الذي يُضرب في \(x\)، أما c فهو الحدّ الثابت. وإذا كانت قيمة a تساوي صفرًا فإن المعادلة لم تعد تربيعية، ولذلك تطلب منك الحاسبة إدخال قيمة لا تساوي صفرًا. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها من القائمة المنسدلة؛ علمًا أن هذا الخيار يؤثر فقط على تقريب النتيجة المعروضة ولا يمسّ الحساب الأصلي.
شرح القانون
تُستنتج الجذور من القانون العام للمعادلة التربيعية
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$حيث المميّز
$$D = b^2 - 4ac$$فعندما يكون \(D > 0\) يوجد جذران حقيقيان مختلفان. وعندما يكون \(D = 0\) يختفي الحدّ ± فنحصل على جذر حقيقي وحيد مكرّر قيمته \(x = -b / (2a)\). أما عندما يكون \(D < 0\) فإن الجذر التربيعي يصبح تخيّليًا، فينتج زوج مترافق من الأعداد المركّبة جزؤه الحقيقي \(-b / (2a)\) وجزؤه التخيّلي \(\sqrt{-D} / (2a)\).
مثال محلول
لنأخذ \(a = 2\) و \(b = 3\) و \(c = -5\):
$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$وبما أن \(D > 0\)، فإن \(\sqrt{49} = 7\)، ومن ثمّ
$$x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -2.5$$إذًا الجذران هما 1 و −2.5.
الأسئلة الشائعة
ماذا يحدث إذا كان المميّز سالبًا؟ ستحصل على جذرين مركّبين مترافقين على الصورة \(p \pm qi\)؛ وتعرض لك هذه الحاسبة الجزء الحقيقي \(p\) والجزء التخيّلي \(q\) كلًّا على حدة.
لماذا يجب ألا يساوي a صفرًا؟ لأنه إذا كان \(a = 0\) يختفي الحدّ \(x^2\) وتتحوّل المعادلة إلى معادلة خطّية (\(bx + c = 0\))، وعندها تصبح القسمة على \(2a\) في القانون العام غير معرّفة.
هل يغيّر خيار الأرقام المعنوية قيمة النتيجة؟ لا. فهو يتحكّم فقط في عدد الأرقام المعروضة؛ إذ يُجرى الحساب بدقّة مزدوجة كاملة ثم تُقرَّب النتيجة لأغراض العرض فقط.
