ما هي حاسبة حل المعادلة من الدرجة الرابعة؟
تتيح لك هذه الحاسبة إيجاد الجذور الأربعة لأي معادلة كثيرة حدود من الدرجة الرابعة على الصورة \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\). وهي تعتمد على طريقة فيراري، وهي أسلوب جبري دقيق، أي أنها تُرجع الجذور الحقيقية والعقدية بدقة تامة بدلاً من الاعتماد على التكرار العددي التقريبي. كل معادلة من الدرجة الرابعة بمعاملات حقيقية لها أربعة جذور بالضبط في المستوى العقدي، وتظهر الجذور العقدية دائماً في أزواج مترافقة.
كيفية الاستخدام
أدخل المعاملات الخمسة a وb وc وd وe. يجب أن يكون المعامل الرئيسي \(a\) مختلفاً عن الصفر، وإلا فإن المعادلة لا تكون من الدرجة الرابعة. اترك بقية المعاملات بقيمة صفر إذا كانت كثيرة الحدود تخلو من بعض الحدود. ثم اضغط على زر الحساب لتظهر القيم من \(x_1\) إلى \(x_4\). الجذور الحقيقية تظهر بدون جزء تخيلي، أما الجذور العقدية فتظهر على الصورة \(p + qi\).
شرح القانون
تبدأ العملية بتحويل المعادلة إلى الصورة الأحادية بقسمة جميع حدودها على \(a\). ثم يؤدي التعويض \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) إلى الحصول على معادلة من الدرجة الرابعة منخفضة على الصورة $$y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0$$ خالية من الحد التكعيبي. بعد ذلك تجد طريقة فيراري جذراً حقيقياً \(m\) لمعادلة تكعيبية مساعدة (resolvent cubic)، وهذا يسمح بكتابة المعادلة المنخفضة كحاصل ضرب عاملين تربيعيين. وبحل كل معادلة تربيعية باستخدام القانون العام التربيعي للأعداد العقدية نحصل على أربع قيم لـ \(y\)، ثم نعود بها عبر العلاقة \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) لإيجاد الجذور.
مثال محلول
للمعادلة \(x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0\) (حيث \(a=1\)، \(b=-7\)، \(c=5\)، \(d=31\)، \(e=-30\))، يمكن تحليل كثيرة الحدود إلى العوامل \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\). وتُرجع الحاسبة الجذور \(x_1 = -2\)، و\(x_2 = 1\)، و\(x_3 = 3\)، و\(x_4 = 5\)، وجميعها جذور حقيقية.
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع الجذور العقدية؟ نعم. على سبيل المثال، المعادلة \(x^{4} + 1 = 0\) تُرجع الجذور العقدية الأربعة للعدد \(-1\)، وهي تقريباً \(\pm 0.7071 \pm 0.7071i\).
ماذا لو كان \(a\) يساوي صفراً؟ عندها لا تعود المعادلة من الدرجة الرابعة، وتُظهر الحاسبة رسالة خطأ؛ استخدم في هذه الحالة حاسبة المعادلة التكعيبية أو التربيعية بدلاً منها.
هل تتعامل مع الجذور المكررة؟ نعم. فمعادلة مثل \((x-2)^{4} = 0\) تُرجع الجذر \(x = 2\) أربع مرات.
