À quoi sert ce solveur d'équation quartique ?
Ce calculateur détermine les quatre racines d'une équation polynomiale quartique (du quatrième degré) de la forme \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\). Il s'appuie sur la méthode de Ferrari, une technique algébrique exacte : il fournit donc les racines réelles et complexes avec précision, sans recourir à des itérations numériques. Toute équation quartique à coefficients réels possède exactement quatre racines dans le plan complexe, et les éventuelles racines complexes apparaissent toujours par paires conjuguées.
Mode d'emploi
Saisissez les cinq coefficients \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) et \(e\). Le coefficient dominant \(a\) doit être non nul, faute de quoi l'équation n'est pas quartique. Laissez les autres à zéro si certains termes de votre polynôme sont absents. Lancez le calcul pour afficher \(x_1\) à \(x_4\). Les racines réelles n'affichent aucune partie imaginaire ; les racines complexes apparaissent sous la forme \(p + qi\).
La formule expliquée
L'équation est d'abord rendue unitaire en la divisant par \(a\). La substitution \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) donne une quartique réduite $$y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0,$$ dépourvue de terme cubique. La méthode de Ferrari recherche ensuite une racine réelle \(m\) d'une cubique résolvante, ce qui permet d'écrire la quartique réduite comme le produit de deux facteurs quadratiques. En résolvant chaque trinôme à l'aide de la formule du second degré dans le plan complexe, on obtient quatre valeurs de \(y\) ; le retour par \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) fournit alors les racines.
Exemple détaillé
Pour \(x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0\) (\(a=1\), \(b=-7\), \(c=5\), \(d=31\), \(e=-30\)), le polynôme se factorise en \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\). Le solveur renvoie \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\), toutes réelles.
Questions fréquentes
Gère-t-il les racines complexes ? Oui. Par exemple, \(x^{4} + 1 = 0\) renvoie les quatre racines quatrièmes complexes de \(-1\), soit environ \(\pm 0{,}7071 \pm 0{,}7071i\).
Que se passe-t-il si \(a\) est égal à zéro ? L'équation n'est alors plus quartique et le calculateur signale une erreur ; utilisez plutôt un solveur d'équation cubique ou du second degré.
Prend-il en charge les racines multiples ? Oui. Une équation comme \((x-2)^{4} = 0\) renvoie \(x = 2\) quatre fois.
