Ce que fait ce calculateur
Cet outil résout les équations trigonométriques fondamentales \(\sin\theta = k\), \(\cos\theta = k\) et \(\tan\theta = k\). Comme les fonctions trigonométriques sont périodiques, chaque équation possède une infinité de solutions. Le calculateur affiche la valeur principale (celle que renvoie la fonction inverse de votre calculatrice) ainsi qu'une solution particulière issue de la famille générale, pour un entier n de votre choix.
Mode d'emploi
Choisissez la fonction (sin, cos ou tan), saisissez la valeur k du second membre, puis indiquez un entier n. Pour le sinus et le cosinus, k doit être compris entre −1 et 1, faute de quoi il n'existe aucune solution réelle. Fixez n = 0 pour obtenir la valeur principale comme solution, puis augmentez ou diminuez n pour parcourir l'ensemble des réponses possibles.
Les formules expliquées
Pour \(\sin\theta = k\), la solution générale est $$\theta = n\,\pi + (-1)^{n}\,\arcsin\!\left(k\right)$$ Le facteur \((-1)^{n}\) inverse la valeur principale aux multiples impairs de \(\pi\), ce qui permet de réunir les deux branches dans une seule expression.
Pour \(\cos\theta = k\), la solution générale s'écrit $$\theta = 2\,n\,\pi \pm \arccos\!\left(k\right)$$ ce calculateur utilise la branche en + (la branche en − donne l'angle symétrique). Pour \(\tan\theta = k\), dont la période est \(\pi\), la solution est $$\theta = n\,\pi + \arctan\!\left(k\right)$$
Exemple résolu
Résolvons \(\sin\theta = 0{,}5\). La valeur principale est \(\arcsin(0{,}5) = 30° = \frac{\pi}{6}\). Avec \(n = 0\), la solution est \(30°\). Avec \(n = 1\), elle devient $$1\cdot 180° - 30° = 150°$$ le second angle de l'intervalle \([0°, 360°)\) pour lequel le sinus vaut \(0{,}5\). Les deux sont bien des solutions de la même équation.
FAQ
Pourquoi ma réponse change-t-elle avec n ? Les équations trigonométriques admettent une infinité de solutions ; n sélectionne celle que vous voyez parmi la famille qui se répète.
Pourquoi « aucune solution réelle » ? Le sinus et le cosinus ne renvoient que des valeurs comprises entre −1 et 1 : ainsi, \(\sin\theta = 2\) n'a aucun angle réel pour solution. La tangente, en revanche, accepte n'importe quelle valeur réelle de k.
Degrés ou radians ? Le résultat affiche les deux : les degrés dans l'encadré principal et les radians juste en dessous.
