À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout les équations exponentielles écrites sous la forme \(a\cdot b^{x} = c\) pour déterminer l'exposant inconnu x. Les équations exponentielles sont partout : intérêts composés, croissance d'une population, désintégration radioactive ou cinétique chimique — dès qu'une grandeur est multipliée de façon répétée par un facteur constant. Plutôt que de procéder par tâtonnements, le solveur s'appuie sur les logarithmes pour calculer x avec précision.
Comment l'utiliser
Entrez trois nombres : le coefficient a (la valeur lorsque x = 0), la base b (le facteur de croissance ou de décroissance) et le résultat c (la valeur visée). Cliquez sur « Calculer » et l'outil vous renvoie l'exposant x, le rapport c/a, ainsi qu'une vérification de \(a\cdot b^{x}\) pour confirmer le résultat.
La formule expliquée
Partons de \(a\cdot b^{x} = c\). On divise les deux membres par a pour obtenir \(b^{x} = c/a\). En prenant le logarithme de chaque côté et en appliquant la règle de la puissance, on obtient \(x\cdot\log(b) = \log(c/a)\). Il suffit alors de diviser par \(\log(b)\) pour isoler l'exposant :
$$x = \frac{\log(c/a)}{\log(b)}$$
N'importe quelle base de logarithme convient, car les bases se simplifient dans le rapport. Pour qu'une solution réelle existe, il faut que a ≠ 0, que c/a > 0 et que la base b > 0 avec b ≠ 1.
Exemple concret
Résolvons \(2\cdot 3^{x} = 54\). D'abord, \(c/a = 54/2 = 27\). Ensuite, $$x = \frac{\log(27)}{\log(3)} = 3,$$ puisque \(3^{3} = 27\). Vérification : \(2\cdot 3^{3} = 2\cdot 27 = 54\). ✓
Questions fréquentes
Pourquoi c/a doit-il être positif ? Une base positive élevée à n'importe quelle puissance réelle reste toujours positive ; l'équation \(b^{x} = c/a\) n'a donc de solution que si c/a > 0.
La base peut-elle valoir e ? Oui : entrez b = 2,71828 pour résoudre les équations à exponentielle naturelle de la forme \(a\cdot e^{x} = c\).
Et s'il n'y a aucune solution réelle ? Si a vaut zéro, si la base est invalide ou si c/a n'est pas positif, le calculateur indique qu'il n'existe aucune solution réelle.
