この計算ツールでできること
このツールは、\(a\cdot b^{x} = c\) の形で表される指数方程式を、未知の指数 \(x\) について解きます。指数方程式は、複利計算・人口増加・放射性物質の崩壊・化学反応など、ある量が一定の倍率で繰り返し掛け合わされるあらゆる場面に登場します。手探りで当てずっぽうに求める必要はありません。このソルバーは対数を用いて、\(x\) を正確に算出します。
使い方
3つの数値を入力します。係数 \(a\)（\(x = 0\) のときの値）、底 \(b\)（増加または減少の倍率）、結果 \(c\)（目標とする値）です。「計算」をクリックすると、指数 \(x\)、比 \(c/a\)、そして \(a\cdot b^{x}\) の検算結果が表示され、答えが正しいかどうかを確認できます。
計算式の解説
\(a\cdot b^{x} = c\) からスタートし、両辺を \(a\) で割ると \(b^{x} = c/a\) になります。両辺の対数を取り、対数の累乗則（power rule）を使うと \(x\cdot\log(b) = \log(c/a)\) が得られます。これを \(\log(b)\) で割れば、指数を次のように求められます。
$$x = \frac{\log(c/a)}{\log(b)}$$
比の形になっているため底は約分され、どの底の対数を使っても同じ結果になります。実数解が存在する条件は、\(a \neq 0\)、\(c/a > 0\)、そして底 \(b > 0\) かつ \(b \neq 1\) であることです。
計算例
\(2\cdot 3^{x} = 54\) を解いてみましょう。まず \(c/a = 54/2 = 27\) です。次に $$x = \frac{\log(27)}{\log(3)} = 3$$ となります。\(3^{3} = 27\) だからです。検算すると \(2\cdot 3^{3} = 2\cdot 27 = 54\)。✓ 正しく一致します。
よくある質問
なぜ \(c/a\) は正でなければならないのですか？ 正の底をどんな実数で累乗しても結果は必ず正になります。そのため、\(b^{x} = c/a\) が解を持つのは \(c/a > 0\) の場合に限られます。
底に \(e\) を使えますか？ はい。\(b = 2.71828\) と入力すれば、\(a\cdot e^{x} = c\) の形の自然指数方程式を解けます。
実数解が存在しない場合はどうなりますか？ \(a\) が 0 のとき、底が条件を満たさないとき、または \(c/a\) が正でないときは、実数解が存在しない旨が表示されます。
