Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve ecuaciones exponenciales escritas en la forma \(a\cdot b^{x} = c\) para despejar el exponente desconocido x. Las ecuaciones exponenciales están por todas partes: interés compuesto, crecimiento de poblaciones, desintegración radiactiva o reacciones químicas; en definitiva, allí donde una cantidad se multiplica una y otra vez por un factor constante. En lugar de ir probando valores, la calculadora recurre a los logaritmos para hallar x con exactitud.
Cómo usarla
Introduce tres números: el coeficiente a (el valor cuando x = 0), la base b (el factor de crecimiento o de decrecimiento) y el resultado c (el valor objetivo). Pulsa en calcular y la herramienta te devuelve el exponente x, el cociente c/a y una comprobación de \(a\cdot b^{x}\) para que confirmes que la solución es correcta.
La fórmula explicada
Partimos de \(a\cdot b^{x} = c\) y dividimos ambos lados entre a para obtener \(b^{x} = c/a\). Si tomamos el logaritmo en los dos miembros y aplicamos la regla de la potencia, llegamos a \(x\cdot\log(b) = \log(c/a)\). Al dividir entre \(\log(b)\) despejamos el exponente:
$$x = \frac{\log(c/a)}{\log(b)}$$
Puedes usar logaritmos en cualquier base, ya que las bases se cancelan dentro del cociente. Para que exista una solución real se necesita que \(a \neq 0\), que \(c/a > 0\) y que la base \(b > 0\) con \(b \neq 1\).
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(2\cdot 3^{x} = 54\). Primero calculamos \(c/a = 54/2 = 27\). Después, $$x = \frac{\log(27)}{\log(3)} = 3,$$ porque \(3^{3} = 27\). Comprobación: \(2\cdot 3^{3} = 2\cdot 27 = 54\). ✓
Preguntas frecuentes
¿Por qué c/a tiene que ser positivo? Una base positiva elevada a cualquier exponente real siempre da un resultado positivo, así que \(b^{x} = c/a\) solo tiene solución cuando \(c/a > 0\).
¿La base puede ser e? Sí; introduce \(b = 2.71828\) para resolver ecuaciones de exponencial natural del tipo \(a\cdot e^{x} = c\).
¿Y si no hay solución real? Si a vale cero, la base no es válida o c/a no es positivo, la calculadora te avisará de que no existe ninguna solución real.
