四次方程式の解とは？
この計算機は、\(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\) という形の四次方程式（4次の多項式方程式）について、4つの解をすべて求めます。計算には「フェラーリの解法」と呼ばれる厳密な代数的手法を用いているため、数値的な反復計算ではなく、実数解も複素数解も正確に導き出せます。実数係数をもつ四次方程式は、複素数平面上で必ず4つの解をもち、複素数解が現れる場合は必ず共役な組（共役複素数）として対になって出てきます。
使い方
5つの係数 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) を入力してください。最高次の係数 \(a\) は0以外でなければなりません。\(a\) が0の場合、その式はもはや四次方程式ではなくなります。多項式に欠けている項がある場合は、対応する係数を0のままにしておけば大丈夫です。「計算」を押すと、\(x_1\) から \(x_4\) までの解が表示されます。実数解には虚部が表示されず、複素数解は \(p + qi\) の形で表示されます。
計算式の解説
まず、式全体を \(a\) で割ってモニック（最高次の係数を1）にします。次に \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) と置き換えることで、3次の項を含まない「簡約四次方程式」 \(y^{4} + p y^{2} + q y + r = 0\) が得られます。フェラーリの解法では、ここで分解方程式（3次の補助方程式＝リゾルベント3次方程式）の実数解 \(m\) を1つ求め、それを使って簡約四次方程式を2つの二次式の積に分解します。それぞれの二次式を複素数まで考慮した解の公式で解くと、4つの \(y\) の値が得られ、これを \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) で元に戻すと、求める解が得られます。
計算例
\(x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0\)（\(a=1\), \(b=-7\), \(c=5\), \(d=31\), \(e=-30\)）の場合、この多項式は \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\) と因数分解できます。計算機は \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\) を返し、いずれもすべて実数解です。
よくある質問
複素数解にも対応していますか？ はい、対応しています。たとえば \(x^{4} + 1 = 0\) を解くと、\(-1\) の4つの複素4乗根、すなわち約 \(\pm 0.7071 \pm 0.7071i\) が返ってきます。
\(a\) が0の場合はどうなりますか？ その式はもはや四次方程式ではないため、計算機はエラーを表示します。三次方程式や二次方程式の計算機をお使いください。
重解（重複する解）にも対応していますか？ はい。たとえば \((x-2)^{4} = 0\) のような式では、\(x = 2\) が4回（4重解として）返されます。
