Dördüncü Derece Denklem Çözücü

Hesaplamaya Girin

a (x⁴)

b (x³)

c (x²)

d (x)

e (sabit)

Formül

Show calculation steps (1)

1. Depressed Quartic (Substitution)

   

   With x = y - B/4 and monic coefficients B=b/a, C=c/a, D=d/a, E=e/a, the quartic reduces to y^4 + p y^2 + q y + r = 0 which Ferrari method solves.

Sonuç

Dördüncü derece denklemin dört kökü

x1

-2

x2

1

x3

3

x4

5

Yöntem	Ferrari yöntemi (çözücü kübik)
Kök sayısı	4 (katlılıkla birlikte, karmaşık düzlemde)

Dördüncü derece denklem çözücü nedir?

Bu hesaplayıcı, \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\) biçimindeki dördüncü derece (kuartik) bir polinom denkleminin dört kökünü de bulur. Sayısal yaklaşımlarla değil, Ferrari yöntemi adı verilen kesin bir cebirsel teknikle çalışır; böylece reel ve karmaşık kökleri tam olarak verir. Reel katsayılı her dördüncü derece denklemin karmaşık düzlemde tam olarak dört kökü vardır ve karmaşık kökler her zaman eşlenik çiftler hâlinde gelir.

Dördüncü dereceden bir denklem, eğrisinin x eksenini kestiği yerlerde en fazla dört gerçek köke sahip olabilir.

Nasıl kullanılır?

a, b, c, d ve e olmak üzere beş katsayıyı girin. Baş katsayı a sıfırdan farklı olmalıdır; aksi takdirde denklem dördüncü derece değildir. Polinomunuzda eksik terimler varsa ilgili katsayıları sıfır olarak bırakabilirsiniz. Hesapla'ya bastığınızda x1'den x4'e kadar tüm kökleri görürsünüz. Reel köklerde sanal kısım görünmez; karmaşık kökler \(p + qi\) biçiminde gösterilir.

Formülün açıklaması

Önce denklem a'ya bölünerek baş katsayısı 1 olan (monik) hâle getirilir. \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) dönüşümü, kübik terimi olmayan \(y^{4} + p y^{2} + q y + r = 0\) biçiminde indirgenmiş bir dördüncü derece denklem üretir. Ardından Ferrari yöntemi, bir çözücü (rezolvent) kübik denklemin reel bir kökü \(m\)'yi bulur; bu sayede indirgenmiş denklem iki ikinci derece çarpanın çarpımı olarak yazılabilir. Her ikinci derece çarpan, karmaşık ikinci derece denklem formülüyle çözüldüğünde dört y değeri elde edilir; \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) ile geri dönüşüm yapıldığında ise kökler bulunur.

$$\begin{gathered} y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0 \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x &= y - \tfrac{B}{4}, \quad B = \tfrac{b}{a} \\ p &= C - \tfrac{3}{8}B^{2} \\ q &= D - \tfrac{1}{2}BC + \tfrac{1}{8}B^{3} \\ r &= E - \tfrac{1}{4}BD + \tfrac{1}{16}B^{2}C - \tfrac{3}{256}B^{4} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

Ferrari yöntemi, dördüncü dereceden denklemi bir çözücü üçüncü derece ve iki ikinci derece çarpana indirger.

Çözümlü örnek

\(x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0\) (\(a=1, b=-7, c=5, d=31, e=-30\)) denkleminde polinom \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\) olarak çarpanlarına ayrılır. Çözücü, hepsi reel olan \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\) köklerini verir.

Sıkça sorulan sorular

Karmaşık kökleri çözebilir mi? Evet. Örneğin \(x^{4} + 1 = 0\) denklemi, \(-1\)'in dört karmaşık dördüncü kökünü verir; yaklaşık olarak \(\pm 0{,}7071 \pm 0{,}7071i\).

a sıfıra eşitse ne olur? Denklem artık dördüncü derece değildir ve hesaplayıcı bir hata bildirir; bunun yerine üçüncü veya ikinci derece denklem çözücüsü kullanın.

Katlı (tekrarlı) kökleri işleyebilir mi? Evet. \((x-2)^{4} = 0\) gibi bir denklem, \(x = 2\) kökünü dört kez döndürür.