Qu'est-ce qu'une chaînette ?
La chaînette est la forme que prend une chaîne ou un câble souple suspendu librement sous son propre poids, et maintenu uniquement par ses deux extrémités. Même si elle ressemble à une parabole, sa véritable courbe est décrite par le cosinus hyperbolique : \(y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)\). La constante a détermine si la courbe est « profonde » ou « plate » : un a grand donne une courbe plus plate et plus tendue, tandis qu'un a petit produit un affaissement plus marqué.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la constante de chaînette a et la position horizontale x, mesurée à partir du point le plus bas (le sommet). Le calculateur renvoie la hauteur de la courbe y, la flèche au-dessus du sommet \((y - a)\) et la pente \((dy/dx)\) en ce point. Le sommet se situe en \(x = 0\), où \(y = a\) et la pente est nulle.
La formule expliquée
La hauteur vaut $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right),$$ où cosh désigne le cosinus hyperbolique. Une première dérivation donne la pente : $$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right).$$ Au sommet (\(x = 0\)), \(\cosh(0) = 1\) donc \(y = a\), et \(\sinh(0) = 0\) donc la tangente est horizontale. La flèche par rapport au point le plus bas est simplement \(y - a\).
Exemple résolu
Prenons \(a = 10\) et \(x = 5\). On a alors \(x/a = 0{,}5\). Comme \(\cosh(0{,}5) \approx 1{,}12763\), on obtient $$y = 10 \times 1{,}12763 \approx 11{,}2763.$$ La flèche vaut \(y - a \approx 1{,}2763\) et la pente \(\sinh(0{,}5) \approx 0{,}52110\).
FAQ
Une chaînette est-elle identique à une parabole ? Non. Les deux se ressemblent près du bas, mais une chaîne suspendue suit la fonction cosh, tandis qu'une parabole (\(y = kx^2\)) décrit une charge répartie uniformément à l'horizontale, comme le tablier d'un pont suspendu.
Que représente la constante a ? Elle est égale à la tension horizontale divisée par le poids par unité de longueur du câble ; c'est aussi la hauteur du sommet au-dessus de la directrice.
Pourquoi a ne peut-il pas être nul ? Le calcul exige de diviser x par a, donc \(a = 0\) n'est pas défini ; dans ce cas, le calculateur renvoie zéro.
