¿Qué es una curva catenaria?
La catenaria es la forma que adopta una cadena o un cable flexible cuando cuelga libremente bajo su propio peso, sujeto únicamente por sus dos extremos. Aunque a simple vista se parece a una parábola, la curva real se describe mediante la función coseno hiperbólico, \(y = a \cdot \cosh(x/a)\). La constante a determina cómo de "profunda" o "tensa" es la curva: un valor de a grande genera una curva más plana y tirante, mientras que un valor pequeño produce una caída más pronunciada.
Cómo usar esta calculadora
Introduce la constante de la catenaria a y la posición horizontal x medida desde el punto más bajo (el vértice). La calculadora devuelve la altura de la curva y, la flecha por encima del vértice (y − a) y la pendiente (dy/dx) en ese punto. El vértice se sitúa en \(x = 0\), donde \(y = a\) y la pendiente \(= 0\).
La fórmula explicada
La altura es $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ donde cosh es el coseno hiperbólico. Al derivar una vez obtenemos la pendiente, $$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ En el vértice (\(x = 0\)), \(\cosh(0) = 1\), por lo que \(y = a\), y \(\sinh(0) = 0\), por lo que la tangente es horizontal. La flecha respecto al punto más bajo es, sencillamente, \(y - a\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(a = 10\) y \(x = 5\). Entonces \(x/a = 0{,}5\). Como \(\cosh(0{,}5) \approx 1{,}12763\), resulta que $$y = 10 \times 1{,}12763 \approx 11{,}2763$$ La flecha es \(y - a \approx 1{,}2763\) y la pendiente es \(\sinh(0{,}5) \approx 0{,}52110\).
Preguntas frecuentes
¿Es lo mismo una catenaria que una parábola? No. Se parecen cerca de la base, pero una cadena colgante sigue la función cosh, mientras que una parábola (\(y = kx^2\)) describe una carga repartida de forma uniforme a lo largo de la horizontal, como el tablero de un puente colgante.
¿Qué representa la constante a? Equivale a la tensión horizontal dividida entre el peso por unidad de longitud del cable, y también es la altura del vértice sobre la directriz.
¿Por qué a no puede valer cero? Es necesario dividir x entre a, así que \(a = 0\) queda indefinido; en ese caso la calculadora devuelve cero.
