Qué hace esta calculadora
La Calculadora de análisis de regresión de curvas ajusta la curva matemática que elijas a una tabla de puntos (x, y). Te devuelve los coeficientes ajustados (A, B y, en el modelo cuadrático, C), la ecuación explícita resultante y el coeficiente de correlación r, que indica hasta qué punto la curva se aproxima a tus datos. Se trata de estadística pura y funciona igual en cualquier lugar: todos los valores son números adimensionales, sin unidades.
Modelos disponibles
Puedes ajustar siete familias de curvas: Lineal (\(y = A + B\cdot x\)), Logarítmica (\(y = A + B\cdot \ln x\)), Exponencial en e (\(y = A\cdot e^{B\cdot x}\)), Exponencial ab (\(y = A\cdot B^{x}\)), Potencial (\(y = A\cdot x^{B}\)), Inversa (\(y = A + B/x\)) y Cuadrática (\(y = A + B\cdot x + C\cdot x^{2}\)). Todos los modelos que no son cuadráticos se ajustan transformando las variables (aplicando logaritmos o recíprocos), ejecutando mínimos cuadrados ordinarios y deshaciendo después la transformación de los coeficientes.
Cómo usarla
Escribe tus datos con un par (x, y) por línea; por ejemplo, 1,2. Selecciona el tipo de regresión en el menú desplegable, indica cuántos dígitos quieres mostrar y pulsa calcular. Los modelos logarítmico y potencial exigen que todos los valores de x sean > 0; los modelos exponenciales y el potencial requieren que todos los valores de y sean > 0; el modelo inverso necesita \(x \neq 0\). El modelo cuadrático requiere al menos tres puntos.
La fórmula explicada
Para las variables transformadas u y v, el método de mínimos cuadrados da la pendiente $$B = \frac{N\sum uv - \sum u\sum v}{N\sum u^{2} - (\sum u)^{2}}$$ y la ordenada en el origen $$A = \frac{\sum v - B\sum u}{N}.$$ La correlación r utiliza el mismo numerador dividido entre la raíz cuadrada del producto de los términos de variación de x e y. En los modelos no lineales, A y B se recuperan con \(\exp(\ldots)\) tras ajustar en el espacio logarítmico.
Ejemplo resuelto (Lineal)
Datos: (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). Aquí \(N=5\), \(\sum x=15\), \(\sum y=20\), \(\sum x^{2}=55\), \(\sum xy=69\), \(\sum y^{2}=90\). Entonces $$B = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0{,}9$$ y $$A = \frac{20 - 0{,}9\cdot 15}{5} = 1{,}3.$$ La recta ajustada es \(y = 1{,}3 + 0{,}9x\) con \(r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0{,}9\), una correlación positiva fuerte.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa r? Un valor de \(|r|\) superior a 0,7 indica correlación fuerte; entre 0,4 y 0,7, moderada; entre 0,2 y 0,4, débil; y por debajo de 0,2, prácticamente nula.
¿Por qué el modelo exponencial rechaza valores negativos de y? El ajuste se realiza sobre \(\ln(y)\), que no está definido para valores no positivos, así que estos modelos requieren \(y > 0\).
¿Qué modelo debo elegir? Representa primero tus datos: las nubes de puntos casi rectas encajan con el modelo lineal; el crecimiento acelerado, con el exponencial o el potencial; y las curvas con una sola inflexión, con el cuadrático.
