Что такое квадратное неравенство?
Квадратное неравенство сравнивает квадратное выражение с нулём — например, \(\text{a}x^2 + \text{b}x + \text{c} > 0\). Его решением служит множество всех действительных значений x, при которых неравенство выполняется. Поскольку графиком квадратного трёхчлена является парабола, ответ всегда принимает одну из нескольких форм: два бесконечных луча, один ограниченный промежуток, вся числовая прямая, единственная точка либо вообще отсутствие решений. Это чистая математика, и работает она одинаково в любой стране.
Как пользоваться калькулятором
Сначала выберите знак неравенства, который применяется к выражению \(\text{a}x^2 + \text{b}x + \text{c}\), затем введите коэффициенты a, b и c. Коэффициент a не должен равняться нулю — иначе выражение становится линейным, и нужно воспользоваться решателем линейных неравенств. Укажите, сколько значащих цифр выводить, после чего вы сразу увидите множество решений, дискриминант, оба корня и вершину параболы, по которой удобно строить эскиз.
Как устроен метод
Сперва вычисляем дискриминант \(D = \text{b}^2 - 4\,\text{a}\,\text{c}\). Если \(D > 0\), есть два различных корня — меньший (lo) и больший (hi); если \(D = 0\), есть один двойной корень; если \(D < 0\), действительных корней нет. Далее учитываем, что при \(\text{a} > 0\) ветви параболы направлены вверх (выражение отрицательно строго между корнями и положительно вне их), а при \(\text{a} < 0\) — вниз (знаки меняются на противоположные). Сопоставив выбранный знак с этими областями, получаем ответ: вне корней для «больших» неравенств и между корнями для «меньших», причём концы промежутка включаются только для нестрогих знаков (≥, ≤).
Разбор примера
Решим \(x^2 + x - 2 > 0\). Здесь \(\text{a} = 1\), \(\text{b} = 1\), \(\text{c} = -2\).
$$D = 1 - 4\cdot1\cdot(-2) = 9$$значит \(\sqrt{D} = 3\). Корни равны
$$\frac{-1 - 3}{2} = -2 \quad\text{и}\quad \frac{-1 + 3}{2} = 1$$то есть \(\text{lo} = -2\), \(\text{hi} = 1\). Так как \(\text{a} > 0\), а знак — «>», выражение положительно вне корней, и ответ: \(x < -2\) или \(x > 1\). Вершина параболы находится в точке \(x = -0{,}5\), \(y = -2{,}25\).
Частые вопросы
Что происходит при \(D < 0\)? Парабола не пересекает ось x. Для параболы с ветвями вверх выражение всегда положительно, поэтому знаки «>» и «≥» дают всю числовую прямую, а «<» и «≤» — пустое множество; для параболы с ветвями вниз всё наоборот.
Почему случай с двойным корнем даёт единственную точку? Когда \(D = 0\), парабола касается оси в одной точке \(r = -\dfrac{\text{b}}{2\,\text{a}}\). Здесь выполняется только нестрогое неравенство, совпадающее со стороной касания (например, «≤» при \(\text{a} > 0\)), что и даёт ответ \(x = r\).
Может ли a быть равным нулю? Нет. При \(\text{a} = 0\) выражение становится линейным, формула корней приводит к делению на ноль, и калькулятор предложит воспользоваться решателем линейных неравенств.
