द्विघात असमिका हल कैलकुलेटर

विविक्तकर D = b² - 4ac	9
मूल अल्फ़ा (α)	1
मूल बीटा (β)	-2
शीर्ष x = -b/(2a)	-0.5
शीर्ष y	-2.25
परवलय किस ओर खुलता है	Upward (a > 0)

द्विघात असमिका क्या है?

द्विघात असमिका किसी द्विघात व्यंजक की शून्य से तुलना करती है, जैसे $ax^2 + bx + c > 0$। इसका हल उन सभी वास्तविक x-मानों का समुच्चय होता है जिनके लिए यह कथन सत्य रहता है। चूँकि द्विघात का ग्राफ़ एक परवलय होता है, इसलिए इसका हल हमेशा इन्हीं कुछ रूपों में से एक होता है: दो बाहर की ओर जाती किरणें, एक सीमित अंतराल, सभी वास्तविक संख्याएँ, एक अकेला बिंदु, या फिर कोई हल नहीं। यह शुद्ध गणित है और हर जगह एक जैसा ही काम करता है।

ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय दो मूलों पर x-अक्ष को काटता है, अक्ष के ऊपर और नीचे के क्षेत्र अलग-अलग छायांकित — द्विघात असमिका परवलय की तुलना शून्य से करती है: हल इस पर निर्भर करता है कि वक्र x-अक्ष के ऊपर है या नीचे।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सबसे पहले वह असमिका चिह्न चुनें जिसे आप $ax^2 + bx + c$ पर लगाना चाहते हैं, फिर गुणांक $a$, $b$ और $c$ दर्ज करें। ध्यान रहे कि गुणांक $a$ शून्य नहीं होना चाहिए, अन्यथा व्यंजक रैखिक बन जाता है और उसके लिए आपको किसी रैखिक असमिका हल कैलकुलेटर का उपयोग करना चाहिए। इसके बाद यह तय करें कि कितने सार्थक अंक दिखाने हैं, और फिर हल समुच्चय, विविक्तकर, दोनों मूल तथा रेखाचित्र बनाने में काम आने वाला परवलय का शीर्ष देख लें।

विधि की पूरी समझ

सबसे पहले विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ निकालें। यदि $D > 0$ हो तो दो अलग-अलग मूल lo और hi मिलते हैं; यदि $D = 0$ हो तो एक द्विगुणित (double) मूल होता है; और यदि $D < 0$ हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता। अब यह याद रखें कि जब $a > 0$ हो तो परवलय ऊपर की ओर खुलता है (मूलों के बीच में ऋणात्मक, बाहर धनात्मक) और जब $a < 0$ हो तो नीचे की ओर खुलता है (चिह्न उलट जाते हैं)। चुने गए चिह्न को इन क्षेत्रों से मिलाने पर हल मिल जाता है: "बड़ा" वाले समूह के लिए मूलों के बाहर, और "छोटा" वाले समूह के लिए मूलों के बीच — जहाँ केवल अकठोर चिह्नों (≥, ≤) के लिए ही सिरे (endpoints) हल में शामिल किए जाते हैं।

दो मूलों से तीन अंतरालों में बँटी संख्या रेखा, द्विघात व्यंजक के चिह्नों के साथ — मूल संख्या रेखा को अंतरालों में बाँट देते हैं; हर अंतराल की जाँच से व्यंजक का चिह्न मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

$x^2 + x - 2 > 0$ को हल करें। यहाँ $a = 1$, $b = 1$, $c = -2$ है। $$D = 1 - 4(1)(-2) = 9,$$ इसलिए $\sqrt{D} = 3$। मूल हैं $(-1 - 3)/2 = -2$ और $(-1 + 3)/2 = 1$, अर्थात् $\text{lo} = -2$, $\text{hi} = 1$। चूँकि $a > 0$ है और चिह्न ">" है, इसलिए व्यंजक मूलों के बाहर धनात्मक रहता है, जिससे हल मिलता है $x < -2$ या $x > 1$। शीर्ष $x = -0.5$, $y = -2.25$ पर है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

जब $D < 0$ हो तो क्या होता है? ऐसे में परवलय x-अक्ष को कहीं भी नहीं छूता। ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय में व्यंजक हमेशा धनात्मक रहता है, इसलिए ">" और "≥" से सभी वास्तविक संख्याएँ हल बनती हैं, जबकि "<" और "≤" का कोई हल नहीं होता; नीचे की ओर खुलने वाले परवलय में यह स्थिति उलट जाती है।

द्विगुणित मूल वाली स्थिति में हल केवल एक बिंदु क्यों होता है? जब $D = 0$ हो तो परवलय अक्ष को केवल एक ही बिंदु $r = -b/(2a)$ पर छूता है। वहाँ केवल वही अकठोर चिह्न संतुष्ट होता है जो छूने वाली दिशा से मेल खाता है (जैसे $a > 0$ के साथ "≤"), और हल बनता है $x = r$।

क्या $a$ शून्य हो सकता है? नहीं। $a = 0$ होने पर व्यंजक रैखिक बन जाता है, मूल निकालने वाले सूत्र में शून्य से भाग देना पड़ता है, और इसीलिए कैलकुलेटर आपसे रैखिक असमिका हल कैलकुलेटर इस्तेमाल करने को कहता है।