रुंगे-कुट्टा द्वितीय क्रम विधि कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल \(y' = F(x, y)\) रूप के किसी प्रथम-क्रम साधारण अवकल समीकरण (ODE) को अंतराल \([x_0, x_n]\) पर संख्यात्मक रूप से हल करता है, जिसकी शुरुआत आरंभिक शर्त \(y_0 = f(x_0)\) से होती है। इसमें द्वितीय-क्रम रुंगे-कुट्टा विधि (मध्यबिंदु विधि) का उपयोग होता है, जो \((x, y)\) के सन्निकट मानों की एक तालिका और अंतिम मान \(y_n = f(x_n)\) देती है। यह एक सार्वभौमिक गणितीय टूल है, जिस पर किसी देश या क्षेत्राधिकार की कोई पाबंदी नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
दाईं ओर का व्यंजक \(F(x,y)\) को \(x\) और \(y\) में एक गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में दर्ज करें (उदाहरण के लिए 1-y^2, x*y, या sin(x)+y)। आरंभिक बिंदु \(x_0\) और \(y_0\), सीमा का अंतिम बिंदु \(x_n\) दें, और बराबर उपविभाजनों की संख्या \(n\) चुनें। अंतराल को \(h = (x_n - x_0)/n\) आकार के \(n\) स्टेप्स में बाँटा जाता है। \(n\) जितना बड़ा होगा, स्टेप उतना ही सूक्ष्म और सटीकता उतनी ही बेहतर होगी। डिस्प्ले-परिशुद्धता सेलेक्टर केवल यह तय करता है कि कितने सार्थक अंक दिखाए जाएँ।
सूत्र की व्याख्या
मध्यबिंदु रुंगे-कुट्टा योजना समाधान को एक-एक स्टेप करके आगे बढ़ाती है:
$$k_1 = h \cdot F(x_i, y_i)$$$$k_2 = h \cdot F\left(x_i + \frac{h}{2},\; y_i + \frac{k_1}{2}\right)$$$$y_{i+1} = y_i + k_2, \qquad x_{i+1} = x_i + h$$ढलान का अनुमान स्टेप के मध्यबिंदु पर लगाया जाता है, जिससे प्रमुख त्रुटि पद रद्द हो जाता है। स्थानीय खंडन त्रुटि \(O(h^3)\) और वैश्विक त्रुटि \(O(h^2)\) होती है, इसलिए \(h\) को आधा करने पर त्रुटि लगभग एक-चौथाई रह जाती है।
हल किया गया उदाहरण
\(y' = 1 - y^2\) को \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\), \(n = 50\) (अर्थात् \(h = 0.02\)) के साथ हल करें। सटीक हल \(y = \tanh(x)\) है। स्टेप 1: \(k_1 = 0.02 \cdot (1-0) = 0.02\); \(k_2 = 0.02 \cdot (1-0.01^2) = 0.019998\); \(y_1 = 0.019998\)। इसी तरह सभी 50 स्टेप्स पूरे करने पर \(y(1) \approx 0.76159\) मिलता है, जो \(\tanh(1) \approx 0.7615942\) से पाँच दशमलव तक मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह कितना सटीक है? \(n\) बड़ा करने पर सटीकता बढ़ती है, क्योंकि वैश्विक त्रुटि \(h^2\) के अनुपात में होती है। कठोर (stiff) समीकरणों या बहुत बड़े स्टेप्स के लिए परिणाम अपसरित (diverge) हो सकता है।
क्या \(x_n\), \(x_0\) से छोटा हो सकता है? हाँ। ऐसी स्थिति में \(h\) ऋणात्मक होता है और विधि \(x\) में पीछे की ओर समाकलन करती है, जो फिर भी मान्य है।
मैं कौन-से फलन उपयोग कर सकता हूँ? मानक फलन: sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, साथ ही +, -, *, /, ^ और कोष्ठक, तथा स्थिरांक \(e\) और \(pi\)।
