यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल \(y' = F(x, y)\) रूप के किसी प्रथम-क्रम साधारण अवकल समीकरण को दी गई प्रारंभिक शर्त \(y(x_0) = y_0\) के साथ, \(x_0\) से \(x_n\) तक के अंतराल पर संख्यात्मक रूप से हल करता है। इसमें क्लासिकल चौथे-क्रम रुंगे-कुट्टा विधि (RK4) का उपयोग होता है, जो संख्यात्मक विश्लेषण में सबसे अधिक प्रचलित और भरोसेमंद एकल-चरण इंटीग्रेटरों में से एक है। परिणाम के रूप में आपको \((x_i, y_i)\) बिंदुओं की एक सारणी मिलती है जो वास्तविक हल का सन्निकट मान देती है, साथ ही अंतिम मान \(y(x_n)\) भी। यह विशुद्ध गणितीय टूल है, इसका किसी देश या इकाई से कोई संबंध नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
दाहिनी ओर का पद \(F(x,y)\) को x और y में एक व्यंजक के रूप में डालें (उदाहरण के लिए 1-y^2, x+y, x*y, या sin(x)+y)। समर्थित ऑपरेटर हैं + - * / ^ और फलन जैसे sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, tanh, साथ ही स्थिरांक pi और e। प्रारंभिक मान \(x_0\), प्रारंभिक \(y_0\), अंतिम \(x_n\) सेट करें, और चुनें कि कितने समान उपविभाजन \(n\) लेने हैं। जितने अधिक उपविभाजन होंगे, सटीकता उतनी ही अधिक होगी, क्योंकि RK4 की वैश्विक त्रुटि \(h^4\) के अनुपात में घटती है।
सूत्र की व्याख्या
अंतराल को \(n\) समान चरणों में बाँटा जाता है, जिनमें से प्रत्येक की चौड़ाई \(h = (x_n - x_0)/n\) होती है। हर चरण पर RK4 ढाल (slope) का चार बार मान निकालता है: एक बार शुरुआत में (\(k_1\)), दो बार मध्य-बिंदु पर (\(k_2, k_3\)), और एक बार अंत में (\(k_4\))। अगला मान एक भारित औसत होता है, $$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right)$$ इससे चौथे क्रम तक की त्रुटि के पद कट जाते हैं, जिससे स्थानीय कटौती त्रुटि \(O(h^5)\) और वैश्विक त्रुटि \(O(h^4)\) मिलती है।
हल किया गया उदाहरण
\(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\) और \(n = 10\) (\(h = 0.1\)) के साथ \(y' = 1 - y^2\) को हल करें। सटीक हल \(y = \tanh(x)\) है। पहला RK4 चरण \(y_1 = 0.0996679\) देता है, जो \(\tanh(0.1) = 0.0996680\) से मेल खाता है। सभी दस चरणों के बाद \(y(1) = 0.7615942\) मिलता है, जो \(\tanh(1) = 0.7615942\) से सात अंकों तक मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
RK4, ऑयलर विधि से बेहतर क्यों है? ऑयलर विधि हर चरण में केवल एक ढाल का उपयोग करती है (त्रुटि \(O(h)\))। RK4 चार ढालों का उपयोग करके उनका औसत निकालती है, और उसी चरण-आकार पर \(O(h^4)\) सटीकता हासिल करती है — इसलिए किसी निर्धारित सटीकता के लिए कहीं कम चरण चाहिए।
मुझे कितने चरण चुनने चाहिए? 50 से शुरू करें। यदि हल सहज (smooth) है, तो आमतौर पर इतना ही पर्याप्त होता है; तेज़ी से बदलने वाली या लगभग स्टिफ़ (near-stiff) समस्याओं के लिए इसे 100, 200 या 500 तक बढ़ाएँ।
अगर मुझे NaN या Infinity मिले तो क्या करें? संभव है कि हल अपसरित (diverge) हो गया हो, या \(F(x,y)\) ने किसी अमान्य संक्रिया का सामना किया हो (जैसे ऋणात्मक संख्या का log या शून्य से भाग)। व्यंजक की जाँच करें और छोटा अंतराल या अधिक चरण आज़माएँ।
