यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल \(y'' = F(x, y, y')\) के रूप में लिखे गए किसी द्वितीय-क्रम साधारण अवकल समीकरण (ODE) को अंतराल \([x_0, x_n]\) पर संख्यात्मक रूप से हल करता है, और इसके लिए यह क्लासिक चौथे-क्रम Runge-Kutta (RK4) विधि का उपयोग करता है। आप दाईं ओर का व्यंजक \(F\) को \(x\), \(y\) और \(p\) (जहाँ \(p\) का अर्थ \(y'\) है) के पद में एक गणितीय एक्सप्रेशन के रूप में देते हैं, साथ ही प्रारंभिक शर्तें \(y(x_0)\) और \(y'(x_0)\), अंतराल के दोनों सिरे और चरणों की संख्या भी देते हैं। कैलकुलेटर बदले में \(x\), \(y\) और \(y'\) के मानों की पूरी तालिका और अंतिम बिंदु के मान लौटाता है। यह विशुद्ध रूप से संख्यात्मक विश्लेषण है और हर जगह समान रूप से लागू होता है।
इसे कैसे इस्तेमाल करें
\(F(x, y, p)\) दर्ज करें — उदाहरण के लिए, \(y'' + 4y' + 4y = 0\) के लिए -4*p - 4*y लिखें। \(x_0\), \(y_0 = f(x_0)\) और \(p_0 = y'(x_0)\) सेट करें। अंतिम बिंदु \(x_n\) तय करें और उप-अंतरालों की संख्या \(n\) चुनें (जितने अधिक चरण, चरण-आकार \(h = (x_n - x_0)/n\) उतना ही छोटा और परिणाम उतने ही सटीक होंगे)। तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं। RK4 की त्रुटि वैश्विक रूप से \(O(h^4)\) होती है, इसलिए \(n\) को दोगुना करने पर त्रुटि लगभग 16 गुना घट जाती है।
सूत्र की व्याख्या
किसी द्वितीय-क्रम ODE को \(p = y'\) रखकर दो प्रथम-क्रम समीकरणों के एक निकाय में बदला जाता है: तब \(y' = p\) और \(p' = F(x, y, p)\)। RK4 हर चरण में चार भारित ढाल-गणनाओं (\(y\) के लिए \(k\), और \(p\) के लिए \(j\)) का उपयोग करते हुए दोनों अज्ञात राशियों को आगे बढ़ाता है, और इन्हें \((k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)/6\) तथा \((j_1 + 2j_2 + 2j_3 + j_4)/6\) के रूप में जोड़ता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(y'' = -4p - 4y\), जहाँ \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(p_0 = 1\), \(x_n = 1\) और केवल एक मोटा चरण (\(n = 1\), \(h = 1\)) है। चारों चरणों से मिलता है \(k_1=1\), \(k_2=-1\), \(k_3=2\), \(k_4=-5\) और \(j_1=-4\), \(j_2=2\), \(j_3=-6\), \(j_4=12\)। तब $$y(1) = \frac{1 - 2 + 4 - 5}{6} = -\frac{1}{3} = -0.3333$$ और $$p(1) = 1 + \frac{-4 + 4 - 12 + 12}{6} = 1$$ सटीक हल \(y = x e^{-2x}\) है, इसलिए \(y(1) = e^{-2} = 0.1353\); \(h = 1\) का एक विशाल चरण कहीं ज़्यादा मोटा है। \(n = 50\) या \(100\) लेने पर परिणाम ठीक सटीक मान पर अभिसरित (converge) हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मैं पीछे की ओर समाकलन (integrate) कर सकता हूँ? हाँ — \(x_n\) को \(x_0\) से छोटा सेट करें, तो चरण-आकार \(h\) ऋणात्मक हो जाएगा और समाकलन \(x_0\) से नीचे \(x_n\) तक होगा।
कम चरणों पर मेरा उत्तर गलत क्यों दिखता है? RK4 की सटीकता छोटे चरण-आकार पर निर्भर करती है। \(n\) को तब तक बढ़ाते रहें जब तक लगातार आने वाले परिणाम बदलना बंद न कर दें।
F में कौन-कौन से फलन (functions) हो सकते हैं? + - * / ^, कोष्ठक, और sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt, abs, साथ ही स्थिरांक pi और e।
