Qu'est-ce que le calculateur de la méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 ?
Cet outil résout numériquement une équation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre de la forme \(y' = F(x, y)\) sur un intervalle \([x_0, x_n]\), à partir de la condition initiale \(y_0 = f(x_0)\). Il s'appuie sur la méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 (méthode du point milieu) et fournit un tableau d'approximations \((x, y)\) ainsi que la valeur finale \(y_n = f(x_n)\). C'est un outil mathématique universel, sans aucune restriction de pays ni de juridiction.
Comment l'utiliser
Saisissez le second membre \(F(x,y)\) sous la forme d'une expression mathématique en \(x\) et \(y\) (par exemple 1-y^2, x*y ou sin(x)+y). Indiquez le point initial \(x_0\) et \(y_0\), la borne supérieure \(x_n\), puis choisissez le nombre \(n\) de subdivisions égales. L'intervalle est découpé en \(n\) pas de taille \(h = (x_n - x_0)/n\). Plus \(n\) est grand, plus le pas est fin et plus la précision s'améliore. Le sélecteur de précision d'affichage ne fait que régler le nombre de chiffres significatifs affichés.
La formule expliquée
Le schéma de Runge-Kutta du point milieu fait progresser la solution pas à pas :
$$\begin{aligned} k_1 &= h \cdot F(x_i, y_i) \\ k_2 &= h \cdot F(x_i + h/2,\; y_i + k_1/2) \\ y_{i+1} &= y_i + k_2, \quad x_{i+1} = x_i + h \end{aligned}$$La pente est estimée au milieu du pas, ce qui élimine le terme d'erreur dominant. L'erreur de troncature locale est en \(O(h^3)\) et l'erreur globale en \(O(h^2)\) : diviser \(h\) par deux divise donc l'erreur par environ quatre.
Exemple résolu
Résolvons \(y' = 1 - y^2\) avec \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\), \(n = 50\) (soit \(h = 0{,}02\)). La solution exacte est \(y = \tanh(x)\). Étape 1 : $$k_1 = 0{,}02 \cdot (1-0) = 0{,}02$$ $$k_2 = 0{,}02 \cdot (1-0{,}01^2) = 0{,}019998$$ $$y_1 = 0{,}019998$$ En poursuivant les 50 pas, on obtient \(y(1) \approx 0{,}76159\), ce qui correspond à \(\tanh(1) \approx 0{,}7615942\) à cinq décimales près.
FAQ
Quelle est sa précision ? La précision s'améliore lorsque \(n\) augmente, car l'erreur globale évolue en \(h^2\). Pour des équations raides ou des pas très grands, le résultat peut diverger.
\(x_n\) peut-il être inférieur à \(x_0\) ? Oui. Dans ce cas, \(h\) est négatif et la méthode intègre à rebours en \(x\), ce qui reste tout à fait valable.
Quelles fonctions puis-je utiliser ? Les fonctions usuelles : sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt, ainsi que \(+\), \(-\), \(*\), \(/\), \(\char`^\) et les parenthèses, sans oublier les constantes \(e\) et \(pi\).
