룽게-쿠타 2차 방법 계산기란?
이 도구는 \(y' = F(x, y)\) 형태의 1계 상미분방정식(ODE)을 구간 \([x_0, x_n]\)에서 초기 조건 \(y_0 = f(x_0)\)으로부터 수치적으로 풉니다. 2차 룽게-쿠타 방법(중점법)을 사용해 \((x, y)\) 근삿값의 표와 최종값 \(y_n = f(x_n)\)을 계산합니다. 국가나 법적 제약이 없는 보편적인 수학 도구입니다.
사용 방법
우변 \(F(x,y)\)를 \(x\)와 \(y\)에 관한 수식으로 입력하세요(예: 1-y^2, x*y, sin(x)+y). 초기점 \(x_0\)와 \(y_0\), 구간의 끝 \(x_n\)을 넣고, 등분할 횟수 \(n\)을 선택합니다. 구간은 크기 \(h = (x_n - x_0)/n\)인 \(n\)개의 단계로 나뉩니다. \(n\)이 클수록 단계가 촘촘해져 정확도가 높아집니다. 표시 정밀도 선택은 결과에 표시되는 유효 숫자 자릿수만 조정합니다.
공식 풀이
중점 룽게-쿠타 방식은 한 번에 한 단계씩 해를 전진시킵니다:
$$\begin{aligned} k_1 &= h \cdot F(x_i, y_i) \\ k_2 &= h \cdot F\left(x_i + \tfrac{h}{2},\; y_i + \tfrac{k_1}{2}\right) \\ y_{i+1} &= y_i + k_2, \quad x_{i+1} = x_i + h \end{aligned}$$기울기를 단계의 중점에서 추정함으로써 주된 오차 항이 상쇄됩니다. 국소 절단 오차는 \(O(h^3)\), 전역 오차는 \(O(h^2)\)이므로 \(h\)를 절반으로 줄이면 오차는 대략 4분의 1로 줄어듭니다.
예제 풀이
\(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\), \(n = 50\)(즉 \(h = 0.02\))로 \(y' = 1 - y^2\)를 풀어 봅시다. 정확한 해는 \(y = \tanh(x)\)입니다. 1단계: $$k_1 = 0.02 \cdot (1-0) = 0.02$$ $$k_2 = 0.02 \cdot (1-0.01^2) = 0.019998$$ $$y_1 = 0.019998$$ 50단계를 모두 진행하면 \(y(1) \approx 0.76159\)가 되어, \(\tanh(1) \approx 0.7615942\)와 소수점 다섯 자리까지 일치합니다.
자주 묻는 질문
얼마나 정확한가요? 전역 오차가 \(h^2\)에 비례하므로 \(n\)이 클수록 정확도가 높아집니다. 강성(stiff) 방정식이거나 단계가 지나치게 크면 결과가 발산할 수 있습니다.
\(x_n\)이 \(x_0\)보다 작아도 되나요? 됩니다. 이 경우 \(h\)가 음수가 되어 \(x\) 방향으로 거꾸로 적분하지만, 방법 자체는 여전히 유효합니다.
어떤 함수를 쓸 수 있나요? 표준 함수들을 사용할 수 있습니다: sin, cos, tan, exp, ln, log, sqrt와 +, -, *, /, ^ 및 괄호, 그리고 상수 \(e\)와 \(\pi\).
