이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 두 개의 반축 a와 b를 입력하면 타원을 분석해 줍니다. 결과로는 선형 이심률 c(중심에서 각 초점까지의 거리), 이심률 e, 장반축과 단반축, 내부 넓이, 그리고 정밀하게 근사한 둘레를 제공합니다. 긴 축이 가로 방향이든 세로 방향이든 상관없이 작동하는데, 더 큰 값을 자동으로 장반축으로 처리하기 때문입니다.
사용 방법
두 반축의 길이를 동일한 단위로 입력하세요(결과도 같은 단위로 나옵니다). 반축은 타원의 전체 너비 또는 높이의 절반을 뜻합니다. 계산 버튼을 누르면 초점거리와 이심률이 즉시 표시됩니다.
공식 설명
타원의 초점은 장축 위, 중심에서 \(c\)만큼 떨어진 지점에 위치하며, 이때 다음과 같습니다.
$$c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}$$이심률 \(e = c / \text{a}_3\)(\(\text{a}_3\)는 장반축)은 타원이 얼마나 길쭉한지를 나타냅니다.
$$e = \frac{c}{\max(\text{a},\,\text{b})}$$\(e = 0\)이면 완전한 원이고, 타원이 점점 가늘고 길어질수록 \(e\)는 1에 가까워집니다. 넓이는 다음과 같으며,
$$A = \pi \cdot \text{a} \cdot \text{b}$$둘레는 라마누잔의 두 번째 근사식을 사용해 모든 종횡비에서 매우 정확한 값을 얻습니다.
$$\begin{gathered} P = \pi\,(A+B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \max(\text{a},\,\text{b}) \\ B &= \min(\text{a},\,\text{b}) \\ h &= \frac{(A-B)^{2}}{(A+B)^{2}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
계산 예시
a = 5, b = 3인 경우: \(c = \sqrt{\left|25 - 9\right|} = \sqrt{16} = 4\)입니다. 이심률 \(e = 4 / 5 = 0.8\)이고, 넓이 \(= \pi \times 5 \times 3 \approx 47.124\)입니다. 두 초점은 장축을 따라 중심에서 양쪽으로 각각 4만큼 떨어진 지점에 놓입니다.
자주 묻는 질문
a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 타원이 원이 됩니다. \(c = 0\), \(e = 0\)이 되어 중심에 하나의 초점만 존재합니다.
축을 입력하는 순서가 중요한가요? 아닙니다. 계산기가 더 큰 축을 알아서 찾아내므로 a와 b를 어떤 순서로 입력해도 됩니다.
둘레가 왜 근삿값인가요? 타원의 둘레는 간단한 닫힌 형태의 공식이 없습니다(타원 적분이 필요합니다). 라마누잔 공식은 실제 값과의 오차가 1%의 극히 일부에 불과할 만큼 정확합니다.
