Ce que fait ce calculateur
Cet outil analyse une ellipse à partir de ses deux demi-axes, a et b. Il fournit l'excentricité linéaire c (la distance entre le centre et chaque foyer), l'excentricité e, le demi-grand axe et le demi-petit axe, l'aire délimitée ainsi qu'une approximation précise du périmètre. Il fonctionne que l'axe le plus long soit horizontal ou vertical, car il considère automatiquement la plus grande valeur comme le demi-grand axe.
Comment l'utiliser
Saisissez les longueurs des deux demi-axes dans une unité cohérente (le résultat s'exprime dans cette même unité). Le demi-axe correspond à la moitié de la largeur ou de la hauteur totale de l'ellipse. Lancez le calcul pour obtenir instantanément la distance focale et l'excentricité.
La formule expliquée
Les foyers d'une ellipse se trouvent sur le grand axe, à une distance c du centre, avec \(c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}\). L'excentricité \(e = c / \text{a}_3\) (où a₃ désigne le demi-grand axe) mesure à quel point l'ellipse est allongée : \(e = 0\) correspond à un cercle parfait, et \(e\) se rapproche de 1 à mesure que l'ellipse devient longue et étroite. L'aire vaut \(\pi \cdot \text{a} \cdot \text{b}\), et le périmètre s'appuie sur la deuxième approximation de Ramanujan, d'une grande exactitude quel que soit le rapport d'aplatissement.
$$c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}, \qquad e = \frac{c}{\max(\text{a},\,\text{b})}$$
$$A = \pi \cdot \text{a} \cdot \text{b}$$
$$\begin{gathered} P = \pi\,(A+B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \max(\text{a},\,\text{b}) \\ B &= \min(\text{a},\,\text{b}) \\ h &= \frac{(A-B)^{2}}{(A+B)^{2}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Exemple détaillé
Pour a = 5 et b = 3 : \(c = \sqrt{\left|25 - 9\right|} = \sqrt{16} = 4\). L'excentricité \(e = 4 / 5 = 0{,}8\). L'aire \(= \pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}124\). Les deux foyers se situent à 4 unités de part et d'autre du centre, le long du grand axe.
FAQ
Et si a est égal à b ? L'ellipse est alors un cercle : \(c = 0\) et \(e = 0\), il n'y a donc qu'un seul foyer, situé au centre.
L'ordre des axes a-t-il une importance ? Non. Le calculateur détermine lui-même le plus grand axe : vous pouvez donc saisir a et b dans n'importe quel ordre.
Pourquoi le périmètre n'est-il qu'approché ? Le périmètre d'une ellipse n'a pas de formule simple en forme close (il fait intervenir une intégrale elliptique). La formule de Ramanujan reproduit la valeur réelle à une infime fraction de pour cent près.
