Qué hace esta calculadora
Esta herramienta analiza una elipse a partir de sus dos semiejes, a y b. Te devuelve la excentricidad lineal c (la distancia del centro a cada foco), la excentricidad e, los semiejes mayor y menor, el área encerrada y una aproximación precisa del perímetro. Funciona tanto si el eje más largo es horizontal como vertical, porque toma automáticamente el valor mayor como semieje mayor.
Cómo usarla
Introduce las longitudes de los dos semiejes en cualquier unidad, siempre que sea la misma para ambos (el resultado se expresa en esas mismas unidades). El semieje es la mitad del ancho o del alto total de la elipse. Pulsa calcular y verás al instante la distancia focal y la excentricidad.
La fórmula explicada
Los focos de una elipse se sitúan sobre el eje mayor, a una distancia c del centro, donde \(c = \sqrt{\left|\,a^{2} - b^{2}\,\right|}\). La excentricidad e = c / a₃ (siendo a₃ el semieje mayor) mide cuánto se «estira» la elipse:
$$c = \sqrt{\left|\,\text{a}^{2} - \text{b}^{2}\,\right|}, \qquad e = \frac{c}{\max(\text{a},\,\text{b})}$$e = 0 corresponde a una circunferencia perfecta, y e se acerca a 1 a medida que la elipse se vuelve larga y estrecha. El área es \(A = \pi \cdot \text{a} \cdot \text{b}\), y el perímetro se obtiene con la segunda aproximación de Ramanujan, extraordinariamente exacta para cualquier relación de ejes.
$$\begin{gathered} P = \pi\,(A+B)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} A &= \max(\text{a},\,\text{b}) \\ B &= \min(\text{a},\,\text{b}) \\ h &= \frac{(A-B)^{2}}{(A+B)^{2}} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ejemplo resuelto
Para a = 5 y b = 3:
$$c = \sqrt{\left|\,25 - 9\,\right|} = \sqrt{16} = 4$$Excentricidad \(e = 4 / 5 = 0{,}8\). Área \(= \pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}124\). Los dos focos quedan a 4 unidades a cada lado del centro a lo largo del eje mayor.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si a es igual a b? La elipse se convierte en una circunferencia: \(c = 0\) y \(e = 0\), de modo que hay un único foco situado en el centro.
¿Importa el orden de los ejes? No. La calculadora detecta por sí sola cuál es el eje mayor, así que puedes introducir a y b en el orden que prefieras.
¿Por qué el perímetro es aproximado? El perímetro de una elipse no tiene una fórmula cerrada sencilla (requiere una integral elíptica). La fórmula de Ramanujan coincide con el valor real con un error de una fracción ínfima de porcentaje.
