¿Qué es una calculadora de elipse?
Una elipse es una curva cerrada en la que la suma de las distancias desde dos puntos fijos (los focos) hasta cualquier punto de la curva es constante. Esta calculadora parte de las dos medidas que definen una elipse —el semieje mayor a (la mitad del diámetro más largo) y el semieje menor b (la mitad del diámetro más corto)— y te devuelve al instante el área, el perímetro, la excentricidad y la distancia focal.
Cómo usarla
Introduce el semieje mayor a y el semieje menor b en cualquier unidad, siempre que sea la misma para ambos (cm, m, pulgadas, etc.). Pulsa calcular. El área se expresa en unidades cuadradas, mientras que el perímetro y la distancia focal se dan en las mismas unidades lineales que introdujiste. Si introduces los valores en el orden equivocado, no pasa nada: la excentricidad y la distancia focal se calculan igualmente bien, porque la calculadora toma de forma automática el valor mayor como eje principal.
Las fórmulas explicadas
El área de una elipse es exacta: \(A = \pi\,a\,b\). Cuando \(a = b\) la elipse es una circunferencia y la fórmula se reduce a \(\pi r^{2}\). El perímetro no tiene una fórmula cerrada sencilla, así que usamos la célebre aproximación de Ramanujan $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$ con una precisión mejor que una parte en diez millones para las formas habituales. La excentricidad \(e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\) indica lo «estirada» que está la elipse: 0 significa una circunferencia perfecta, mientras que los valores cercanos a 1 describen una forma cada vez más aplanada. La distancia focal \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) es la distancia desde el centro hasta cada foco.
Ejemplo resuelto
Para \(a = 5\) y \(b = 3\): $$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47{,}12 \text{ unidades cuadradas}$$ $$P \approx \pi[3(8) - \sqrt{18\cdot 14}] = \pi[24 - \sqrt{252}] \approx \pi\cdot 8{,}124 \approx 25{,}527 \text{ unidades}$$ $$e = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$ $$c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$
Preguntas frecuentes
¿Qué unidades utiliza? Las que prefieras: basta con que mantengas a y b en la misma unidad; el área se devuelve en esa unidad al cuadrado.
¿Por qué el perímetro es aproximado? El perímetro exacto de una elipse requiere una integral elíptica que no tiene una fórmula cerrada elemental. La fórmula de Ramanujan es una aproximación rápida y extremadamente precisa.
¿Qué significa una excentricidad de 0? Una excentricidad de 0 significa que \(a = b\), de modo que la elipse es en realidad una circunferencia.
